Question

みみ

数三の定積分の問題です。
(１)ではπ／2－tでsinとcosが入れ替わることは分かるのですがm.nがまで一緒に入れ替わってしまう理由がわからないです...

- Ed
重要 例題
nを0以上の整数として, Im,n=So sin" xcos" xdxとする。
m,
次の等式を証明せよ。 ただし, sin x=cosx=1である。
① Im.n=In.m
n-1
m+n
解答
x=
(1) x=
指針 (1) sin(x)=cos.x, cos(x) = sinx [sin と cos が入れ替わる] に注目し、
▷
π
x=tとおくと dx=(-1)・dt
2
xとtの対応は右のようになる。
よって
tとおき換えて計算し、後で変数t をxに直す。
(2) sin" x cos"x=(sin" xcosx) cos” x として部分積分法を用いる。
更に, sinm+2 xcos"-2 x = sin" xcos”-2x-sin" x COS" x から 同形出現。
H
Im.n
Aft
・h-2より、
TL
-S² sin" x cos" x dx
p.339
事項
0②. Im.n= -Im.n-2 (n ≥2)
=
[ 216,220 00000
置き替えは
まず始めに
これを疑う、
8
t
0
π
2
π
2
0
①
-S"sin" ( z—t)cos" (z −t)-(-Dar-f
cos" (ハート)(-1)dt=So sin"xcos"xdx=In.m
2
2
H

Answer 1

✨ ベストアンサー ✨

和

sinとcosが入れ替わることがわかるなら
m,nが入れ替わっているとは思わないはず…
ただ積の順を入れ替えただけ

sin^m(π/2-t) cos^n(π/2-t)
= cos^m(t) sin^n(t)
= sin^n(t) cos^m(t)

みみ

ありがとうございます！