授業中にとったノートですが、見直しても意味がよく分かりません(><) ①どうして場合分けをするのか ②どうしてｎ＝2となるのか(クエスチョンマークをつけている箇所) ③どうして逆を言わないといけないのか バカなので丁寧に解説してくださると助かります。よろしくお願いします🙇‍♂️

例題6| 導関数を含む等式 zの整式で表される関数f(x) が, 等式 2f'(z)- (2.r-1)f(r)=1 を満たすと する。次の問いに答えよ。ただし, f(z) は定数関数ではないとする。 (1) f(z)の次数を求めよ。 (2) f(x) を求めよ。 (指針)(1) f(x)の最高次の項をar" (aキ0) として, nの値を定める。 解答] (1) f(z) の次数を n (n>1) とし, その最高次の項を az" (aキ0) とすると, 等式の左辺の見かけの最高次の項は .anz"-1-2.r.ar" すなわち (n-2)az"+1 等式の右辺は1であるから n-2=0 よって,n=2 となるから,f(z) の次数は2 答 (2) f(z)は2次関数であるから, f(x)=ar°+br+c(aキ0) とおける。 f'(x)=2ar+bであるから, 与えられた等式は次のようになる。 °(2ar+6)-(2.r-1)(ar°+bx+c)=1 (a-b)z?+(b-2c).r+(c-1)=0 整理すると これがェの恒等式になればよいから a-b=0, b-2c=0, c-1=0 ゆえに a=2, b=2, c=1 (これは,aキ0 を満たす) したがって f(x)=2r°+2.c+1 答 *82 xの整式で表される関数f(x) が次の条件を満たすとする。このとき, f(x) を求めよ。 (2.r+1)f(z)-4f (z)=D-3, f(-1)=1

この問題の、赤線から下の部分が何をしているかわからないです💦 どなたか解説をお願いします🙇‍♀️ 特に黄色のマーカーの部分が、どこから出てきた何の式なのかわからないです...。

微分可能な関数 f(x) がf(x)=\e*-1| を満たし, f(1)=e であるとき,f(x)を そこで,関数 f(x) は x=0 で微分可能 →x=0 で連続(p.242 基本事項I2)に着目。 356 OOO00 重要例題211 導関数から関数決定(2) 基本 210 求めよ。 指針>条件f(x)=le*-1|から, {(x)=(le*-1ldx とすることはできな い。まず,O 絶対値 場合に分ける から x>0のとき f"(x)=e*-1 *<0のとき f (x)=-(e*-1)=-e*+1 *>0のときは, ④と条件f(1)=eから f(x) が決まる。しかし, *<0のときは, 条件 f(1)=eが利用できない。 y=er-1 の 0 lim f(x)= lim f(x)=f(0) を利用して,f(x) を求める。 ズ→+0 ズ→-0 解答 導関数 f(x) はその定義か ら,xを含む開区間で扱う。 したがって, x>0, x<0の 区間で場合分けして考える。 x>0のとき, e*-1>0であるから f(x)=e*-1 よって f(x)=\(e*-1)dx=e*-x+C (Cは積分定数) f(1)=eであるから e=e-1+C したがって f(x)=e*-x+1 ① F(x)=-e*+1 ゆえに C=1 x<0のとき, e*-1<0であるから (x) ={(-e*+1)dx よって =-e*+x+D(D は積分定数) f(x)はx=0 で微分可能であるから, x=0 で連続である。 lim f(x)= lim f(x)=f(0) 4f(x) は微分可能な関数。 ゆえに x→+0 ズ→-0 のから lim f(x)= lim (e*-x+1)=2 x→+0 x→+0 のから lim f(x)= lim(le*+x+D)=-1+D x→-0 X→-0 2=-1+D=f(0) f(x)=-e*+x+3 よって ゆえに D=3 したがって A必要条件。 ex-1 このとき, lim -=1から x 逆の確認。p.257 も参照。 ズ→0 f(h)-f(0) eh-h-1 =0. lim = lim e^-1 h→+0 h h (lim h→+0 h→+0\ h f(h)-f(0) -eh+h+1 =0 lim -=lim ー(e^-1) h h (lim h→-0 h→-0 h→-0 h よって,f(0)が存在し, f(x) は x=0で微分可能である。 (x20) -e*+x+3 (x<0) e*ーx+1 以上から f(x)= 練習 π 211 <今とする。f(x)=Itan?x-1|, f(0)=0であるとき,f(x) を求めよ 2

この問題で逆の確認をするのはなぜですか？

接線の方程式 377 175 直交する2曲線 heck Aaos3 1000の曲線 y- 「右の図のように, 2つの曲線 y=f(x), y=g(x)が共有点をもち,その点におけるそれ ソ=Vx, y=ear s が直交するようにaの値を定めよ、 均値 え方 それの接線が互いに垂直に交わるとき、 |2つの曲線は直交する という、 /y=f(x) 33 姿線 共有点のx座標をtとおいて,次のことに着目する。 y=g(x) 点を共有している F(t)=g(t)) 2つの曲線 y=Vx 0, y=e"x ②の共有点の x座標をtとおく、 f(x)=x とすると,f(x)=。たより,①の共有点 接線どうしが直交する (f(t)g(t)=-1) m m。 レートより 強関 となる。 然 合 x) ) 2Vx 1 (eー月9 の動世平 bge=.logt-0 1+gす持 厳 における接線の傾きは, f(t)=2t , g'(x)=aeae より, ②の共有点に g'(t)=aea g(x)=e" とすると, おける接線の傾きは, 0と2の曲線が直交するのは,共有点における接線が直 交するときであるから, (t).g'(t)=-1 となり 1 たして。 2直線が垂直に交わ 1 *aeat=-1 るとき,2直線の傾 きをm, m' とすると, より, 2t また,①, 2より, mm'=-1 共有点の座標は,O より,(t, VE), 2より,(t, e")で VE =et これを③に代入して, 第6章 =-1 *av 2t 54=-1 より。 y=Vx/ 49 これが一致する。 a=-2 > 逆に a=-2 のとき,④を満た す共有点(t, /E)が存在し,③も 満たす。 よって、 ーー2 Focus さる y=e-2x ー 7 2つの曲線 y=f(x), y=g(x) が直交する 2つの曲線の共有点におけるそれぞれの接線が互いに直交する 共有点のx座標をtとすると,f(t)=g(t), f'(t).g'(t)=-1 を

なぜ最後に逆の確認が必要なのか教えてください

接線の方程式 377 175 直交する2曲線 heck Aaos3 1000の曲線 y- 「右の図のように, 2つの曲線 y=f(x), y=g(x)が共有点をもち,その点におけるそれ ソ=Vx, y=ear s が直交するようにaの値を定めよ、 均値 え方 それの接線が互いに垂直に交わるとき、 |2つの曲線は直交する という、 /y=f(x) 33 姿線 共有点のx座標をtとおいて,次のことに着目する。 y=g(x) 点を共有している F(t)=g(t)) 2つの曲線 y=Vx 0, y=e"x ②の共有点の x座標をtとおく、 f(x)=x とすると,f(x)=。たより,①の共有点 接線どうしが直交する (f(t)g(t)=-1) m m。 レートより 強関 となる。 然 合 x) ) 2Vx 1 (eー月9 の動世平 bge=.logt-0 1+gす持 厳 における接線の傾きは, f(t)=2t , g'(x)=aeae より, ②の共有点に g'(t)=aea g(x)=e" とすると, おける接線の傾きは, 0と2の曲線が直交するのは,共有点における接線が直 交するときであるから, (t).g'(t)=-1 となり 1 たして。 2直線が垂直に交わ 1 *aeat=-1 るとき,2直線の傾 きをm, m' とすると, より, 2t また,①, 2より, mm'=-1 共有点の座標は,O より,(t, VE), 2より,(t, e")で VE =et これを③に代入して, 第6章 =-1 *av 2t 54=-1 より。 y=Vx/ 49 これが一致する。 a=-2 > 逆に a=-2 のとき,④を満た す共有点(t, /E)が存在し,③も 満たす。 よって、 ーー2 Focus さる y=e-2x ー 7 2つの曲線 y=f(x), y=g(x) が直交する 2つの曲線の共有点におけるそれぞれの接線が互いに直交する 共有点のx座標をtとすると,f(t)=g(t), f'(t).g'(t)=-1 を

数学の質問です。写真の、赤星をつけた部分2箇所について質問です。 まず一つ目ですが、〔2〕が全体的に何を言ってるのか理解できません。x＝0の時の軌跡を求めてるってことですか？また、何のためにmを求めたんでしょうか？ 二つ目として、「mがどんな値をとっても、①はx＝0を表... 続きを読む

172 重要 例題111 2直線の父 mが実数全体を動くとき, 次の2直線の交点Pはどんな図形を描くか、 指針>交点Pの座標を求めようと考え, 0, ② をx, yの連立方程式とみて解くと 検討軌跡の逆の確認と除外点について 画例題111の解答で得られた軌跡の方程式 (x-1)?+ 173 x+my-m-230 2 (*)から, ①, ② mx-y=0… の を導いてみよう。 ここで,(*)は x*+y-2x-y=0 … 3 と同値である。 m(m+2) ソ= m+1 ーのから y=mx m+2 オ+ゾ-2-2=0 これをのに代。 x x オー この2式から mを消去してx, yの関係式を求めようとする上 そこで、交点Pが存在するための条件を考えてみよう。 計算が大変。 l xキ0のとき, ③の両辺をxで割ると のとおくと x+my-m-2=0 となり, ② の式が得られる。 mの値を1つ定めると, 2直線①, ②が決まり,2直線 ①, ② の交点Pが定まる。 また,のから mx-y=0 となり,①の式が得られる。 以上のことと解答の[1] から, xキ0のとき(Oかつ2)→ (*) が成り立つ。 [2] x=0 のとき, ③ から ゆえに,x=0 のとき (*) ←→(x, y)=(0, 0) または(x, y)=(0, 1) ここで,(x, y)=(0, 0) のとき, 2から (x, y)=(0, 1)のとき, ① が成り立たず,② から m の値を定めることもできない。 よって,(x, y)= (0, 0) → m=-2 → (① かつ 2)であるが、 2=m x m=0のとき x=2, y=0 m=1のとき 3 X= これを解くと y=0, 1 例えば yーy=0 2,=3 2 であるから,点(2, 0), (,)は求める図形上にある。これを逆の視点で発え 2直線0, 2の交点Pが存在するならば、①,② をともに満たす実数 m 竹 ゆえに,連立方程式 0, ② の解が存在する条件 と捉える。すなわち、 ① を満たす。 m=-2 また,Oも成り立つ。 3章 18 ということになる。 (x. y)= (0, 1) → (0かつ2)は成り立たない。 のの式を満たすと考え, ①, ② から mを消去しx, yの関係式を導く。 なお, mを消去するため,①をmについて解くときに,xキ0 とx=0の場合分け となる。軌跡を答えるときは, 除外点にも注意が必要となる。 (のかつ2) =→(*) は成り立つが,(*)= (①かつ(②) は成り立 な s ゆえに,x=0 のとき たない。 本がって、(*)の表す図形から点 (0, 1)を除外したものが,直線 ①, ②の交点の軌跡と同1じ になる。 解答 P(x, y) とすると, x, yは①, ② を同時に満たす。 [1] xキ0のとき イm=メ を利用すること 検討)図形的に考える x I 0から カミ X 別アプ 重要例題111の直線① は常に原点0を通る。 また,直線2は,その方程式を変形すると, x-2+m(y-1)=0 となるから,常に点 A(2,1) を通る。 ここで,2直線0, ② の係数について、 m·1+(-1)m=0 ら,xキ0 とx=Dの 分けて考える。 ローチ のに代入して そ y. x x 両辺にxを掛ける。 分母を払って x*+y?-2x-y=0 の (ージ+(yー)ー すなわち 5 4中の(1 ) 2 であるから,2直線 ①, ② は垂直に交わり ZOPA=90° である。 のにおいて,x=0 とすると ゆえに,xキ0のとき,点Pは円③から2点(0, 0), (0, 1) を除いた図形上にある。 [2] x=0のとき メ=0, y=0 を②に代入すると ソ=0, 1 イxキ0 であるから,xl ときの点は,除外点と よって、求める図形は、線分 OA を直径とする円である。 ただし,m がどんな実数値をとっても①は直線x=0 を表さず, ②は直線y=1を表 すことはない。 0から y=0 したがって,2直線 x=0, v=1 の交点(0, 1)に点Pが重なることない。 [(★):b.161 の(*) 参照。] m=-2 よって,点(0, 0) は m=-2のと きの2直線の交点である。 以上から,求める図形は 『オ=0, y=0が0, 0t たすための実数m する。 除外点 1 2 円(x-1ジ+(ー= ただし、点(0, 1)を除く。 練習|kが実数全体を動くとき, 2つの直線 .: ky+x-130, la:y-kx-k=0の交点 111| はどんな図形を描くか。 0 1 2 x 【類立教大) 軌跡と方程式

x=0で微分可能と書いてあるのですが、この場合はxがどの値でも微分可能だけど、計算しやすいからx=0で計算してるんですか？

重要 例題211 導関数から関数決定(2) 2 O000 微分可能な関数f(x) がf(x)=le*ー1| を満たし, f(1) =eであるとき、 求めよ。 y 指針>条件f(x)=le*-1|から, f(x)=}le*-1|dx とすることはできた Sい。まず, O 絶対値 場合に分ける から x>0のとき f(x)=e*-1 x<0のとき f(x)=-(e*-1)=-e*+1 x>0のときは, ④と条件f(1)=eからf(x) が決まる。しかし、 *く0のときは,条件(1)=eが利用できない。 A 0 そこで,関数f(x) は x=0 で微分可能 →x=0 で連続(p.242基本事項山のに lim f(x)= lim f(x)=f(0) を利用して,f(x)を求める。 … x→-0 x→+0 解答 導関数f(x) はその定 ら,xを含む開区間でっ。 したがって,x>0, x<n) 区間で場合分けして考え。 えくotなのに f(x)=e*-1 x>0のとき, e*_1>0 であるから よって f(x)=\(e*-1)dx=e*ーx+C (Cは積分定数) f(1)=eであるから e=e-1+C したがって f(x)=e*-x+1 f(x)=-e*+1 の ゆえに C=1 x<0のとき, e*ー1<0であるから たからつかうはし 名OF よって ー d =-e*+x+D (Dは積分定数) f(x) はx=0 で微分可能であるから, x=0 で連続である。 lim f(x)= lim f(x)=f(0) f(x)は微分可能な関数。 久 とこでとか きかんけい ゆえに x→+0 X→-0 ①から lim f(x)= lim (e*-x+1)=2 Y→+0 x→+0 2から lim f(x)= lim(e*+x+D)=-1+D X→-0 x→-0 2=-1+D=f(0) f(x)=-e*+x+3 よって ゆえに D=3 したがって 必要条件。 このとき, lim ex-1 =1から 「逆の確認。か.257 も参照。 x→0 x f(h)-f(0) eh-h-1 -=0, h lim lim h→+0 ん h h→+0 h→+0 f(h)-f(0) ーeh+h+1 =0 をする lim lim (lim h→-0l h→-0 h よって,f(0) が存在し, f(x) は x=0 で微分可能である。 0 0 (x20) h→-0 以上から f(x)= e*-x+1 1-e+x+3 (<0) mle 練習 211 ;くxくとする。 f(x)=ltan?r=1lf0=0であるとき,

写真の赤線を引いたところは割ることはできないのですか？ もし割れるなら数値代入でなくsinやcosの係数だけを比べる方法では間違いでしょうか？

267 基本例題156 第2次導関数と等式 |1) y=log(1+cos.x)のとき, 等式y"+2e-=0を証明せよ。 | 2) y=e"sinx に対して, y"=ay+by' となるような定数 a, bの値を求めよ。 DOOO0 [(1)信州大,(2) 駒浮大) 基本 155 指針>第2次導関数 y”を求めるには,まず導関数 yを求める。また, (1), (2)の等式はともに *の恒等式である。 (1) y”を求めて証明したい式の左辺に代入する。 また、e-をxで表すには, 等式 e'oEPニかを利用する。 (2) y, y”を求めて与式に代入し,数値代入法を用いる。 5章 解答 (1) ソ=21og(1+cos x) であるから (1+cosx) ゾ=2. 41og M*=klogM なお,-1Scosx<1と (真数)>0 から 2sinx 1+cosx 1+cosx 2{cosx(1+cosx)-sinx(-sinx)} y"=ー= 1+cosx>0 よって (1+cosx) 2(1+cosx) (1+cos.x) 2 <sin?x+cos?x=1 1+cosx 4elogp=pを利用すると elog(1+cosx)=1+cosx また,=log(1+cosx) であるから e2=1+cosx 2 2 2e-=- e2 ゆえに 1+cosx 2 2 I よって "+2e- 30 1+cosx 2 ミー 1+cosx (2) y=2e2* sinxte* cosx=e2*(2sinx+cosx) ゾ=2e2"(2sinx+cosx)+e«(2cos x-sinx) =e*(3sinx+4cos x) ゆえに 4(e)(2sinx+cosx) +e(2sinx+cos.x)'S) ay+by'=ae*sinx+be"(2sinx+cos x) 参考(2)のy=ay+by'の ように,未知の関数の導関数 を含む等式を微分方程式 と =e*{(a+26)sinx+bcosx} の ア=ay+by' にO, ② を代入して e(3sinx+4cos x)=e2*{(a+26)sinx+bcosx} ③ いう(詳しくはか.473参照)。 のはxの恒等式であるから, x30 を代入して また、x=を代入して 4=b (3が恒等式=③にx=0, π を代入しても成り立つ。 3e"=e"(a+26) 2 これを解いて a=-5, b=4 このとき の右辺)=e*x{(15+2-4)sinx+4cosx}=(③ の左辺) 逆の確認。 a=-5, b=4 したがって 次導関数、関数のいろいろな表し方と導関数

この付箋付近の　x=2分のp+q というのは必要なくないですか？

185 例題 112 接線に関する軌跡 Ct★★★★☆ メ放物線 ソ=x? 上の異なる2点P(p, が), Q(q, q°) における接線をそれぞれl, 6とし、その交点をRとする。liと leが直交するように2点P, Qが動くとき, 点Rの軌跡を求めよ。 (類名城大) 一例題108 E 6. bの方程式から交点Rの座標 (x, y) を求めると, x とyはともにか, qの式で表される。 したがって,方針は つなぎの文字p, qを消去する 3章 そこで用いるのは 2直線が垂直 -→(傾きの積)=-1 18 答案 x軸に垂直な接線は考えられないから,l,の傾きを m とすると,その方程式は P. yーが=m(x-p)すなわち y=m(x-p)+が x=m(x-p)+が P(b, が)| Qq, g'), これと y=x° を連立して 整理すると 0 l2 x°-mx+mp-が=0 か x この2次方程式が重解をもつから,判別式をDとすると D=(-m)?-4(mp-が)=m?-4mp+4が=(m-2か)° R (m-2p)?=0 したがって,6の方程式は eiliをる D=0 から よって m=2p ソ=2p(x-p)+がすなわち y=2px-が 同様にして,2の方程式は ソ=2qx-q° 交点Rの座標(x, y) は, 連立方程式 0, ② の解である。 2(カ-q)x=(か+qg)(カ-g) 40でかをqに おき換える。 2 yを消去して整理すると その 交が考左の答案は 今までに学習した 知識のみを用いて 接線の方程式を求 めているが,後で 学習する微分法を 用いると,より簡 単に求めることが できる(第6章微 3 の解である。分法を参照)。 pキqであるから X= 2 -D+q (X,5) これをOに代入して ソ=2か -がーq 2 lille から 2p-2q=-1 よって ソ= pq=- 4 1 -=0 また,p, qは2次方程式 t-2xt - 3の判別式をD' とすると D' 1 よって D'>0 x+ 4 逆の確認。 ゆえに,任意のxに対して実数p, q(カキq)が存在する。 したがって,求める軌跡は 直線 y=ー 1 4 軌跡と方程式

この問題の記述の仕方について質問です 自分はまず、l1、l2の方程式を求める時に、直交するということを含んで考えて、わけわかんなくなっちゃったのですが、この問題はl1、l2の方程式を求め、交点(x、y)を求め、直交条件を使っています。 このように、どの条件をどの順番で使う... 続きを読む

例題 112 接線に関する軌跡 京交の財S |メ放物線 y=x° 上の異なる2点P(p, が), Q(q, q') における接線をそれぞれ, とし、その交点をRとする。liと Lっが直交するように2点P, Qが動くとき, 点Rの軌跡を求めよ。 [類 名城大) 一例題108 えない。しかし E 6. l,の方程式から交点Rの座標(x, y) を求めると,x とyはともにか, qの式で表される。 したがって,方針は つなぎの文字 p, qを消去する 3章 そこで用いるのは 2直線が垂直 -→(傾きの積)=-1 18 3 交園 x軸に垂直な接線は考えられないから,liの傾きを m\bre 4 とすると,その方程式は ソーが=m(x-p)すなわち y=m(x-p)+が これと y=x° を連立して 整理すると この2次方程式が重解をもつから,判別式をDとすると「花2 D=(-m)-4(mp-が)=m?-4mp+4が=(m-2p) P(b, が) Qg, g°) x=m(x-p)+が l2 0 か x x°-mx+mp-が=0 R 円 (m-2か)?=0 l D=0 から 2 よって m=2p したがって,Gの方程式は ソ=2p(x-p)+が すなわち y=2px-が 同様にして,l2の方程式は 交点Rの座標(x, y) は, 連立方程式①, ② の解である。 yを消去して整理すると AS 式水 ソ=2qx-q° 40でかをqに おき換える。 2(p-q)x=(p+q)(カーq)。 その を 参考 左の答案は 今までに学習した 知識のみを用いて 接線の方程式を求 めているが,後で 学習する微分法を 用いると,より簡 単に求めることが できる(第6章微 3 の解である。分法を参照)。 pキq であるから x= これをDに代入して ソ=2か259-が=Dミ大きこ 2 次調 S iLle から 2か2q=-1 0 よって ソ= bq=-- ずれさ 存在しなく めている。 4 また,か, qは2次方程式 -2xt-ー=0 3の判別式をD'とすると D' 1 x2+ 4 よって D'>0 4 ゆえに, 任意のxに対して実数か, q(カキg)が存在する。 逆の確認。 するす したがって, 求める軌跡は 1 直線 y=ー 4 GOL 軌跡と方程式一

軌跡の逆の確認って、試験でやらなかったら原点されますか？