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演習 例題2224次関数のグラフと2点で接する直線
[類 埼玉大
関数y=x(x-4) のグラフと異なる2点で接する直線の方程式を求めよ。
指針 次の①~③3 の考え方がある [ただしf(x)=x(x-4), s≠t]。 ③3 の考え方で解いてみよう
①点(t, f(t)) における接線が, y=f(x)のグラフと点 (s, f(s)) で接する。
(s, f(s)), (t, f(t)) におけるそれぞれの接線が一致する。
③ y=f(x)のグラフと直線y=mx+nがx=s, x=tの点で接するとして、
f(x)=mx+n が 重解 s, tをもつ。 → f(x)-(mx+n)=(x-s)(x-t)^
解答
y=x(x-4) のグラフと直線y=mx+nがx=s,x=t
(st) の点で接するとすると、次のxの恒等式が成り立つ。
x³(x-4)-(mx+n)=(x-s)²(x-t)²
(左辺)=x^-4x-mx-n
(右辺)={(x-s)(x-t)}={x²-(s+t)x+st}2
=x^+(s+t)2x2+s2t2-2(s+t)x3-2(s+t)stx+2stx2
=x²-2(s+t)x+{(s+t)^+2st}x²-2(s+t)stx+s2t2
両辺の係数を比較して
-4=-2(s+t)
-m=-2(s+t)st
①から
③から
①, 0=(s+t)^2+2st
③, -n=s2t2
これ② から
④ から
s+t=2
m=-8
s,tはμ²-2u-2=0の解で,これを解くと u=1±√3
よって, y=x(x-4)のグラフとx=1-√3,x=1+√3の点
で接する直線があり, その方程式は y=-8x-4
... 2.
4
これを変形して
よって, x2+2(t-2)x+3t2-8t=0
Aの判別式をDとすると
st=-2
n=-4
4
x-4x²=(4t3-12t2)x-3t+8t tと異なる重解をもつことである。
(x-t)^{x2+2(1-2)x+3t2-8t}=0
別解y'=4x-12x2であるから,点(t, f(t-4)) における接線の方程式は
y-t³(t-4)=(4t³-12t²)(x-t) Jħ5_y=(4t³-12t²)x-3t++8t³.
この直線がx=s (s≠t) の点でy=x(x-4)のグラフと接するための条件は、 方程式
下の別解は、指針の①の
え方によるものである。
YA
<s≠t を確認する。
D=(t−2)²-1· (3t²-8t) = −2(t²—2t—2)
これを解くと
D=0 とすると t2-2t-2=0
このとき, Aの重解はs=-(t-2)=1+√3 (複号同順)
t=1±√3は2-2t-2 = 0 を満たし
-31¹+8t³ = -(t²-2t-2)(3t²-2t+2)-4--4
10
Aが,tと異なる重解 s をもてばよい。
t=1±√3
4t³-12t²=4(t²-2t-2)(t-1)-8=-8
ゆえに(*) から
よって, s≠t である。
y=-&x-l
E
し
指
C
y':
おすこ
こ
f(
f'
3
t
