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基本 例題244)定積分と和の極限 (1) … 基本
(1) 琉球大,(2) 岐大)
次の極限値を求めよ。
2tn)
ne
n+k
(2) lim と
(k+n)(k+2n)
n→o k=1
n*
n→o k=1
(p.406 基本事項 D
重要246,247
nー1
lim-と)-Sr(x)dx または lig()-S,(x)de
指針>
nー n =0
n→o n k=1
のように,和の極限を定積分で表す。その手順は次の通り。
I 与えられた和 S, において, 一をくくり出し, S,=ーT
の形に変形する。
ソ=f(x)
2 T, の第を項がf)の形になるような関数f(x) を見
つける。
n
f(x)
0| 12k-17 k n-11
3 定積分の形で表す。 それには または)→
カ=1八
=D
1 n
)一バx),
1
* dx と対応させる。
業通程は?
解答
求める極限値をSとする。
(学(ー学ー(+)
n+k
n+k
1
n+k
参考 積分区間は, lim 20
n…n
n
カ→ k=1
の形なら,すべて 0<x$1で
n+k,
S=lim と
n
k
1+
n
よって
考えられる。
n→o k=1
#→0 n k=1
S1+ェ)水(1+x)-3%2
3
F(x)=(1+x)
Jo
2
4
口(2) S=lim
dx
Jo(x+1) (x+2)
f(x)=
n→0 n k=1
k
/k
+1
+2
右辺の分数式は, 左のよう
にして,部分分数に分解
する。分母を払った
1=a(x+1)(x+2)
+6(x+2)+d(x+1}"
の両辺の係数が等しいとし
て得られる連立方程式を解
く。または,x=-1, -2,0
など適当な値を代入しても
n
n
b
ここで,
C
(x+1}(x+2)+I*++とすると
a=-1, b=1, c=1
S=S%-
--ox+1)-+logle+2].
よって
1
1
1
x+1 +log(x+2)]|
3
+log
よい。
2
練習
次の極限値を求めよ。
(2) 岩手大
2244
(1) lim 2sin? kT
1
(2) lim-(en+2e系+3e元+
n→o k=1 n
n
………………+ne n
n→o n
p.414 EX203。
