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642 第9章 平面上のベクトル
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例題 366
条件を満たす点の動く範囲(1)
………ャャーーー
643
S,
3 ベクトルと図形
件を満たすとき,点Pの動く範囲を求めよ。
(1) s+t=1, s20, t20
(3) s+tS1, s20, t20
(2) 3s+t=2
(3) s+t=k とおくと, k年0 のとき, +=1 2
したがって、
OP=sOA+ 1OB-kOA+kOB
直交座標と比較して
みよう。
x+yS1,
|x20, y20
考え方 (1) s=1-t としてsを消去した式で考える、
(2) 条件式をS'+t=1 の形に変形し、 (1)と同様に考える。
ふに範囲がないことに注意する.
ここで, s'=, ビーとすると, ②より, ダ+ビー1
また,s20, t0より, s'20, じ20
直線OA, OB 上にそれぞれ,
OD=kOA, OEーKOB
となる点D, Eをとると、
OP=s'OD+tOE (s'+ビ=1)
第9章
OF-40バ+OB (20, 20)
モ
s20, t20 より,
B
k20
は、線分 DE を表す。
よって、0SkA1より, 点P
は、右の図の△0ABの周上お
よび内部を動く.
よって、たキ0 のとき。
(1) s+t=1, s20. t20 より,.
S=1-t, 0St<1
したがって、
OF=sOA+tOB
=(1-)0A+tOB (0<ts1)°
よって,点Pは, 線分 AB上を動く.
B
E
解答
直交岸様とは。
みよう。
|xty=1,
x20, y2
20, 20
A
k=0 のとき、,点0
0
D
S
=1 ……3
3
(4) 3s-2t=6より,
2
直交座標と比較して
0
A
みよう。
3xー2y=6,
x20, y20
よって, OF=sOA+10B=$-20A-(-30B)
ここで, s'= ビ= とすると, ③より,
0
s-t=1 であり, 0<t<s' となる。
0
また,直線 OA, OB 上にそれぞれ。
OA'=20A, OB=-30B
となる点A', B'をとると、
OF=s'OA-t'OB
0
/2
「TA ZA
(2) 3s+t=2 より, +3=1 …①
く直交座標と比較
の
これより,
OF=sOA+tOB
みよう。
|3x+y=2
S-ビ=1>0 かつ
20 より、
0S<s
s'OA'-r'OB
ーゼ+s'
したがって、点Pは,線分 A'B'を七: s' に外分す
る点であり,0いせ<s' より,その位置はB'と反対側
にある。
よって,点Pは,点A'を端点とし、点B' と逆方向に
伸びた半直線上を動く。
3
t
ここで,S'=s, ビ=;とすると,
のより,
s'+t=1
また,直線 OA, OB上にそれぞれ,
2
-2-1、
A'
ピ=0 のとき s'=1
より、OF=OA
よって、端点A'を
0
0
A
OA'=20A, OB-20E
となる点A, B'をとると,
OF=sOA'+rOB' (s'+ゼ=1)
よって,点Pは, 直線 A'B'上を動く。
含む。
Focus
O
OP=(
○+A=1 を作れ
S, せに制限がも
ため線分ではない
急で 0
(0
線になる。
練習
例題366 で, s,otが次の条件を満たすとき, 点Pの動く範囲を求めよ。
366
1
(2) s+t=;, s20, t20
(1) 0Ss<1, 0<t<1
|2
(4) s-3t=2, s20, t20 →p.649[0
(3) 2s+3t=2
AOAB,=sOA+tOB (s, tは実数)する、.
