222 第3章 図形と方程式
例題 118 直線の通過領域
放物線 y=x2 上の2点A(α, o2), B(β, β2) , β-α=1 を満たしな
(千葉大改)
がら動くとき、直線ABが通過する領域を図示せよ.
考え方
解答
B-a
β-a
TASH
したがって,直線AB の方程式は,
y-d²=(2a+1)(x-α) つまり, y=(2a+1)x-o-α
について整理すると,
°+(1-2x)a+(y-x) = 0 ..... ①
①をxについての2次方程式とみて、判別式をDとすると
実数 α が存在するための条件は,D≧0
Y₁y=x²+
与えられた条件を利用して、 直線AB の方程式をx, y, α で表す.
この方程式をaについての2次方程式とみて、実数が存在するための条件を考える
B²-a²_(B+a) (B-a)=a+B=a+(a+1)=2a+1
D=(1-2x)-4(y-x)
ABの通過領=4²-4y+1≧0
したがって,
Focus
y≤x²+- 4
よって、求める領域は右の図の斜線
部分で,境界線を含む.
4
y=-a²+ (2x −1)a+x=-(a_²x =_=1 )² + x ² + 1 1/2/
2
点 (x,y) が直線AB の通過領域に含まれる
⇔点 (x,y) を通る直線ABが存在する
⇔点 (x, y) に対して、 ①の実数解 α が存在する
よって-(α-2x-1) 20 であるから, y=x+1
≦0
x²
注〉線分 AB が通過する領域を考えてみる。
****
β-α=1 より
= a +1
直線ABが通過
する
変数だとそもそもAB存在しないので
注》次のように考えてもよい。 直線AB について, x を固定して, α について整理すると,
10=A+ AISAIT
線分AB はつねに放物線y=x2 よりも上側にあ
る。 つまり、y≧x2
これと、解y=x2+1/12 より,求める領域は右
の図の斜線部分, 境界線を含む.
ほうらく
放物線y=x²+-を直線ABの包絡線という
直線ABが存在
する
点A,B が存在す
る
↓
実数 α が存在する
y=x² + 1
800 1
YA
√y=x²
4B
Thi
例
