2(b, gは±1以外に公約数をもたない戦動
高次方
例題54
問題編 4 高と
xの整式+a
である。さらに
定数a, bの値
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Action》「~ない」の証明は, 背理法を利用せよよ
有理数を解にもっと仮定 →r=
目標の言い換え
(mの倍数)
」(左辺)
1(右辺)
を厳しくする。
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(1) 整式 P(x
矛盾
(mの倍数でない)
D= (n の倍数) )
(nの倍数)
に矛盾
ニ
である。P
(2) nを2に
0=
この方程式が有理数の解をもつと仮定する。 すなわち、
2(0,9は土1以外に公約数をもたない整数でb21)
ロ 解答を考えながら, 必要に応じて条件
整式 P(x)
ある。この
43
4思考のプロセス。
に,解答9行目で
を絞り込むために
与式に代入すると() +2-(4 ( としておく
g+2pg°+2が=0
…の
が解であるとする。
x" を(x-
44
+2= 0
3るす
両辺にがを掛けると
『=-2p(g°+が)
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次の整式
pでくくり,積の形
くることで, 両辺の
あるいは, 何の
るか考えることがで
よって
かとqは土1以外に公約数をもたないから,pと g°も±1
以外に公約数をもたない。
(あ21であるから
のに代入すると
『+1は整数であるから, ②よりは偶数である。
よって,qも偶数である。
ゆえに,2の左辺は8の倍数であるが, g°+1は奇数であ
るから,右辺は8の倍数にはならず矛盾。
したがって,方程式 x+2x°+2=0 は有理数の解をもた
てaのとき
b=1
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次の方
(1) 2a
「が偶数=q増
は真。対偶を用いて、
明できる。
1gが偶数であることが
g°は偶数,よって
は奇数である。
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次のア
ない。
(別解)(6行目までは同様)
か,9は整数であるから, q°は偶数であり,qも偶数である。
9= 2g' とおくと, ①は
4g° = -(4q°+が)
かとqは±1以外に公約数をもたないから,
なく,qとも±1以外に公約数をもたない。
よって,p=1 であり,② は
左辺は4の倍数であるが,右辺は4の倍数ではないから
矛盾。
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方程
8q° = -2p(4q" +が)
…2 0 のッ
pは偶数で
4g* = - (4g°+1)
49
練習54
8
= 3
のプロセス|
