108 第2章 関数の極限
例題 42 逆関数をもつ条件 一致する条件
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関数y
cx+d
ax+b
(a, b, c. dは実数, α≠0) が逆関数をもつための条
件と,その逆関数がもとの関数と一致するための条件をそれぞれ求めよ.
考え方 分数関数y= cx+d
を
k
wwwwwwwww
ax+b y= ax+b+q の形に変形する.このとき, k0 であれば、
逆関数をもつk=0 のときは y=g(定数)となり、逆関数をもたない。
また、逆関数ともとの関数が一致するのは次の両方が成り立つときである.
・定義域が一致する ・定義域のすべてのxの値に対してf(x)=f(x)
bc
cx+d
d-
解答
a
y
ax+b
① より.
C
C
y=
+
ax+b a
a
①が逆関数をもつ条件は、
bc
ax+bcx + d
d- ¥0
bc
a
cx+
したがって, a≠0 より.
a
ad-bc 0
bc
d
このとき、①の値域は,y==
a
は漸近線
a
①の分母を払って, xについて整理すると.
(ax + b)y=cx +d より, (ay-c)x = -by + d
y=ccより、ay-c≠0 であるから, x=-
xとy を入れ換えて、 ① の逆関数は,y=-
-by+d
ay-c
-bx+d
②
ax-c
①と②が一致するとき、 ①の定義域xキ
b
a
と②の定義域
もとの関数の値
x=が一致するから,
b_cより、
b+c=0
③
域が逆関数の定
義域になる.
a
a a
もにy=
となり一致する.
逆に,ad-bc=0 のとき, ③が成り立つならば、 ① ② はと
-bx+d
ax+b
| 逆を確認する.
Focus
よって 与えられた関数が逆関数をもつ条件は,ad-be≠0
その逆関数がもとの関数と一致する条件は,
逆関数をもつ条
ad-bc≠0, b+c=0
件を忘れない .
k
y=ax+b
+g (a0) でんキ0 ならば、 逆関数は存在する
cx+d
では ad-
d-be
・bc30
ax+b
練習
関数 y=
42
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bx+c
x-a
(a b c は実数) が逆関数をもつための条件と、その逆関数
がもとの関数と一致するための条件をそれぞれ求めよ.
