(xに関する方程式(x°+2x-2)e-*+a=0 の異なる実数解の個数を求めよ。
266
OOO00
基本 例題 168 方程式の実数解
(福島大)
ただし,aは定数であり, lim
=0 とする。
p.261 基本事項2
CHARTOSOLUTION
000SS
方程式 f(x)=a の実数解の個数
曲線 y=f(x) と直線 y=a の共有点の個数を調べる
方程式をf(x)=a の形にして, 動く部分と固定部分を分離すると考えやすい
(曲線 y=f(x)は固定し, 直線 y=a [x軸に平行な直線] を動かす)。
解答
(+2x-2)eメニa
方程式を変形すると
f(x)=-(x°+2x-2)e-* とすると
f(x)=-(2x+2)e-*+(x°+2x-2)e-*
=(x+2)(x-2)e*
*(fg)=f'g+fg
f(x)=0 とすると
よって,f(x)の増減表は次のようになる。
x=-2, 2
|2e2
x
-2
2
a
f(x)
0
0
極小
極大
2e2
2
f(x)
6
e?
-2
0
6
形にあめせる
ここで
lim f(x)=lim
2
=0
x
x→0
っと
X→ o e
x
また, x=-t とおくど
vo
るあケ
x→-8 のとき
im f(x)=lim/e(-)
2
2
に(x+2x-2)--8
x→ー0
=ー0
t→ 0
e-x→ 0
よって, y=f(x)のグラフは右上の図のようになる。
mil
の求めるのは,方程式 f(x)=a の実数解の個数であるから,
から,f(x)→ -0と
考えてもよい。
ソ=f(x)のグラフと直線 y=a との共有点の個数を調べて
*直線 y=a を上下に罰
かしながら,共有点の
数を調べる。(x) が
大·極小となる点を重
ソ=a が通るときのa
値が,実数解の個数の
目。
6
a>2e° のとき0個;a<-→, a=2e° のとき 1個;
6
0Sa<2e° のとき 2個;-くa<く0 のとき 3個
a=
e?
6
162
PRACTICE… 168®
り
A
