数II 軌跡と方程式 　 (2)です。 解説の下線の意味について教えてください。 x₁＋y₁＝1/2+√m＋1/4＋1/2−√m＋1/4 ということだと思うのですが、何故そうなるのかが、さっぱりでして... 教えてください🙇‍♀️

軌跡と方程式 63 放物線 y=x…①と直線 y=x+m…②がある。 (1) ①と②が異なる2点で交わるとき, mの値の範囲を求めよ。 の (2) のと2が異なる2点で交わるとき, 2つの交点を結ぶ線分の中点Pの軌跡を求めよ。

空欄に入る言葉教えてください！

軌跡と方程式 (i) 与えられた条件を満たす点Pの えがく図形を点Pの軌跡という。 例えば, (1)2定点A, Bから等距離にある 点の軌跡は, APP- Bp2 (2)定点0からの距離が一定の値 である点の軌跡は, (3)交わる 2直線1, mから等距離 にある点の軌跡は, (i) 軌跡の方程式を求めるには, 条 件を満たす点をP(x, y)として, 与えられた条件をx, yの関係式 で表す。 特にP(x, y)に対して, 変数 tを用いて, x=Df(t), y=g(t)の 形で表されているときは, 2式か らtを消去して,軌跡の方程式を つくる。

220(1)なのですが、解と係数の関係をなぜ使うのかと、PQの中点を(X,Y)とおいた後のXとYの求め方がわからないです。なぜX=(α+β)÷2をするのでしょうか？ どのようにして解くのか教えて欲しいです。

*219 m が実数全体を動くとき, 放物線 y=x°2_2mx+1 の頂点Pの軌跡を求めよ *220 真線 y=2.x+k が放物線 y=3x-x° と異なる2点P, Qで交わるとする。 定数んの値の範囲を求めよ。 また, 線分 PQの中点Mの座標をんで表せ。 (E) kの値が変化するとき, 線分 PQの中点Mの軌跡を求めよ。

＝0の式までは出来たのですが、それからどう変形して①にするのかわかりません。教えてください。

重要例題 軌跡と方程式 74 2点 A(-3, 0), B(3, 0) からの距離の比が1:3 である点 Pの軌跡を求めよ。 ポイント0 P(x, y) とし, 距離の条件からx, yの関係式を導く。 2 上を動く占0と一

数学の質問です。写真の、赤星をつけた部分2箇所について質問です。 まず一つ目ですが、〔2〕が全体的に何を言ってるのか理解できません。x＝0の時の軌跡を求めてるってことですか？また、何のためにmを求めたんでしょうか？ 二つ目として、「mがどんな値をとっても、①はx＝0を表... 続きを読む

172 重要 例題111 2直線の父 mが実数全体を動くとき, 次の2直線の交点Pはどんな図形を描くか、 指針>交点Pの座標を求めようと考え, 0, ② をx, yの連立方程式とみて解くと 検討軌跡の逆の確認と除外点について 画例題111の解答で得られた軌跡の方程式 (x-1)?+ 173 x+my-m-230 2 (*)から, ①, ② mx-y=0… の を導いてみよう。 ここで,(*)は x*+y-2x-y=0 … 3 と同値である。 m(m+2) ソ= m+1 ーのから y=mx m+2 オ+ゾ-2-2=0 これをのに代。 x x オー この2式から mを消去してx, yの関係式を求めようとする上 そこで、交点Pが存在するための条件を考えてみよう。 計算が大変。 l xキ0のとき, ③の両辺をxで割ると のとおくと x+my-m-2=0 となり, ② の式が得られる。 mの値を1つ定めると, 2直線①, ②が決まり,2直線 ①, ② の交点Pが定まる。 また,のから mx-y=0 となり,①の式が得られる。 以上のことと解答の[1] から, xキ0のとき(Oかつ2)→ (*) が成り立つ。 [2] x=0 のとき, ③ から ゆえに,x=0 のとき (*) ←→(x, y)=(0, 0) または(x, y)=(0, 1) ここで,(x, y)=(0, 0) のとき, 2から (x, y)=(0, 1)のとき, ① が成り立たず,② から m の値を定めることもできない。 よって,(x, y)= (0, 0) → m=-2 → (① かつ 2)であるが、 2=m x m=0のとき x=2, y=0 m=1のとき 3 X= これを解くと y=0, 1 例えば yーy=0 2,=3 2 であるから,点(2, 0), (,)は求める図形上にある。これを逆の視点で発え 2直線0, 2の交点Pが存在するならば、①,② をともに満たす実数 m 竹 ゆえに,連立方程式 0, ② の解が存在する条件 と捉える。すなわち、 ① を満たす。 m=-2 また,Oも成り立つ。 3章 18 ということになる。 (x. y)= (0, 1) → (0かつ2)は成り立たない。 のの式を満たすと考え, ①, ② から mを消去しx, yの関係式を導く。 なお, mを消去するため,①をmについて解くときに,xキ0 とx=0の場合分け となる。軌跡を答えるときは, 除外点にも注意が必要となる。 (のかつ2) =→(*) は成り立つが,(*)= (①かつ(②) は成り立 な s ゆえに,x=0 のとき たない。 本がって、(*)の表す図形から点 (0, 1)を除外したものが,直線 ①, ②の交点の軌跡と同1じ になる。 解答 P(x, y) とすると, x, yは①, ② を同時に満たす。 [1] xキ0のとき イm=メ を利用すること 検討)図形的に考える x I 0から カミ X 別アプ 重要例題111の直線① は常に原点0を通る。 また,直線2は,その方程式を変形すると, x-2+m(y-1)=0 となるから,常に点 A(2,1) を通る。 ここで,2直線0, ② の係数について、 m·1+(-1)m=0 ら,xキ0 とx=Dの 分けて考える。 ローチ のに代入して そ y. x x 両辺にxを掛ける。 分母を払って x*+y?-2x-y=0 の (ージ+(yー)ー すなわち 5 4中の(1 ) 2 であるから,2直線 ①, ② は垂直に交わり ZOPA=90° である。 のにおいて,x=0 とすると ゆえに,xキ0のとき,点Pは円③から2点(0, 0), (0, 1) を除いた図形上にある。 [2] x=0のとき メ=0, y=0 を②に代入すると ソ=0, 1 イxキ0 であるから,xl ときの点は,除外点と よって、求める図形は、線分 OA を直径とする円である。 ただし,m がどんな実数値をとっても①は直線x=0 を表さず, ②は直線y=1を表 すことはない。 0から y=0 したがって,2直線 x=0, v=1 の交点(0, 1)に点Pが重なることない。 [(★):b.161 の(*) 参照。] m=-2 よって,点(0, 0) は m=-2のと きの2直線の交点である。 以上から,求める図形は 『オ=0, y=0が0, 0t たすための実数m する。 除外点 1 2 円(x-1ジ+(ー= ただし、点(0, 1)を除く。 練習|kが実数全体を動くとき, 2つの直線 .: ky+x-130, la:y-kx-k=0の交点 111| はどんな図形を描くか。 0 1 2 x 【類立教大) 軌跡と方程式

数学ⅡBの青チャートの問題です。軌跡と領域の問題です。問題文でmが実数であると書かれているため2式を連立し、mについて整理した後判別式D>=0を使って求めたのですが、解答とは違います。自分のやり方だとどこが駄目か誰か教えてください。

163 2直線の交点の軌跡 重要例題 111 が実数全体を動くとき,次の2直線の交点Pはどんな図形を描くか。 基本 109 m mx-y=0 の, x+my-m-2=0 m+2 x= m(m+2) m?+1 指針> 0. ② を連立して解くと m?+1' ソ= この2式から mを消去して x, yの関係式を求めようとすると計算が大変。 そこで, 交点Pの座標を(x, y) とすると, (x, y) は①, ② を同時に満たすから, 0, ② は、mをつなぎの文字とみた軌跡の条件式 であるといえる。 よって, ①, ②から直接 m を消去して, x, yの関係式を求める。 なお, ①, ② が表さない直線があるから, 求めた図形から 除外する点 が出てくることに ャャキキ*! 注意する。大太Pばど入み図砂を描く切 攻点Pの軌跡はどんなだ 3章 解答 Pの座標を(x, y) とすると, x_yは①, ② を同時に満たす。 [1] xキ0 のとき ズと3の関低式を作った。 を利用することか m= 2に代入して x+ 0から m= x -2=0 x ら,xキ0 とx=0の場合に 分けて考える。 x 分母を払って x°+y°-2x-y=0 5 4やる( } すなわち の円。 4 3において, x=0とすると ゆえに, xキ0のとき, 点Pは円3から2点(0, 0). (0, 1) を除いた図形上にある。 [2] x=0 のとき x=0. y=0 を ②に代入すると よって,点(0, 0)はm=-2のときの2直線の交点である。 以上から,求める図形は, ソ=0, 1 xキ0 であるから, x=0 の ときの点は、除外する点と なる。 Xキ0円 1から y=0 x=0, y=0が①. ② を満 たすための実数mが存在 m=-2 する。 5 円 (x-1)°+(y-)= ただし,点(0, 1) を除く。 4 図形的に考える 直線のは常に原点Oを通る。また, 直線② は, その方程式を変形 すると, x-2+m(y-1)=0 となるから, 常に点A(2, 1) を通る。 ここで、 2直線①, ② の係数について, m·1+(-1).m=0である から, 2直線0,② は垂直に交わり ZOPA=90°である。 よって, 求める図形は, 線分 OAを直径とする円である。 だだし, ① は直線x=0を, ②は直線y=1を表すことはないから, その交点(0, 1) を除くことになる。 1 2 2 0 1 練習 Rが実数全体を動くとき, 2つの直線4,:ky+x-1=0, la: y-kx-k=D0 の交点 1はどんな図形を描くか。 (類立教大) 8軌跡と方程式

この付箋付近の　x=2分のp+q というのは必要なくないですか？

185 例題 112 接線に関する軌跡 Ct★★★★☆ メ放物線 ソ=x? 上の異なる2点P(p, が), Q(q, q°) における接線をそれぞれl, 6とし、その交点をRとする。liと leが直交するように2点P, Qが動くとき, 点Rの軌跡を求めよ。 (類名城大) 一例題108 E 6. bの方程式から交点Rの座標 (x, y) を求めると, x とyはともにか, qの式で表される。 したがって,方針は つなぎの文字p, qを消去する 3章 そこで用いるのは 2直線が垂直 -→(傾きの積)=-1 18 答案 x軸に垂直な接線は考えられないから,l,の傾きを m とすると,その方程式は P. yーが=m(x-p)すなわち y=m(x-p)+が x=m(x-p)+が P(b, が)| Qq, g'), これと y=x° を連立して 整理すると 0 l2 x°-mx+mp-が=0 か x この2次方程式が重解をもつから,判別式をDとすると D=(-m)?-4(mp-が)=m?-4mp+4が=(m-2か)° R (m-2p)?=0 したがって,6の方程式は eiliをる D=0 から よって m=2p ソ=2p(x-p)+がすなわち y=2px-が 同様にして,2の方程式は ソ=2qx-q° 交点Rの座標(x, y) は, 連立方程式 0, ② の解である。 2(カ-q)x=(か+qg)(カ-g) 40でかをqに おき換える。 2 yを消去して整理すると その 交が考左の答案は 今までに学習した 知識のみを用いて 接線の方程式を求 めているが,後で 学習する微分法を 用いると,より簡 単に求めることが できる(第6章微 3 の解である。分法を参照)。 pキqであるから X= 2 -D+q (X,5) これをOに代入して ソ=2か -がーq 2 lille から 2p-2q=-1 よって ソ= pq=- 4 1 -=0 また,p, qは2次方程式 t-2xt - 3の判別式をD' とすると D' 1 よって D'>0 x+ 4 逆の確認。 ゆえに,任意のxに対して実数p, q(カキq)が存在する。 したがって,求める軌跡は 直線 y=ー 1 4 軌跡と方程式

この問題の記述の仕方について質問です 自分はまず、l1、l2の方程式を求める時に、直交するということを含んで考えて、わけわかんなくなっちゃったのですが、この問題はl1、l2の方程式を求め、交点(x、y)を求め、直交条件を使っています。 このように、どの条件をどの順番で使う... 続きを読む

例題 112 接線に関する軌跡 京交の財S |メ放物線 y=x° 上の異なる2点P(p, が), Q(q, q') における接線をそれぞれ, とし、その交点をRとする。liと Lっが直交するように2点P, Qが動くとき, 点Rの軌跡を求めよ。 [類 名城大) 一例題108 えない。しかし E 6. l,の方程式から交点Rの座標(x, y) を求めると,x とyはともにか, qの式で表される。 したがって,方針は つなぎの文字 p, qを消去する 3章 そこで用いるのは 2直線が垂直 -→(傾きの積)=-1 18 3 交園 x軸に垂直な接線は考えられないから,liの傾きを m\bre 4 とすると,その方程式は ソーが=m(x-p)すなわち y=m(x-p)+が これと y=x° を連立して 整理すると この2次方程式が重解をもつから,判別式をDとすると「花2 D=(-m)-4(mp-が)=m?-4mp+4が=(m-2p) P(b, が) Qg, g°) x=m(x-p)+が l2 0 か x x°-mx+mp-が=0 R 円 (m-2か)?=0 l D=0 から 2 よって m=2p したがって,Gの方程式は ソ=2p(x-p)+が すなわち y=2px-が 同様にして,l2の方程式は 交点Rの座標(x, y) は, 連立方程式①, ② の解である。 yを消去して整理すると AS 式水 ソ=2qx-q° 40でかをqに おき換える。 2(p-q)x=(p+q)(カーq)。 その を 参考 左の答案は 今までに学習した 知識のみを用いて 接線の方程式を求 めているが,後で 学習する微分法を 用いると,より簡 単に求めることが できる(第6章微 3 の解である。分法を参照)。 pキq であるから x= これをDに代入して ソ=2か259-が=Dミ大きこ 2 次調 S iLle から 2か2q=-1 0 よって ソ= bq=-- ずれさ 存在しなく めている。 4 また,か, qは2次方程式 -2xt-ー=0 3の判別式をD'とすると D' 1 x2+ 4 よって D'>0 4 ゆえに, 任意のxに対して実数か, q(カキg)が存在する。 逆の確認。 するす したがって, 求める軌跡は 1 直線 y=ー 4 GOL 軌跡と方程式一

この問題の付箋付近の、 y=mx ってどうだしたのですか？

183 弦の中点の軌跡 例題 111 直線 y=mx と円(x-4)+y?=12 が異なる2点A,Bで交わるとき,線分 ABの中点Pの軌跡を求めよ。 一例題108 本占 A. Bの座標を求めて,中点Pの座標(x, y)を計算すると,xとyはともにmの式で 表されるはず。したがって,次の方針でいく。 式を導く した CHART その際,交点のx座標は,yを消去した2次方程式の2つの実数解であるから つなぎの文字m を消去して, , yだけの関係式を導く 3章 18 異なる2点で交わる → D>0 本形に直 -dx- 点(p, 0 更に,中点のx座標は解と係数の関係を利用する。 ふす 啓案(y=mx と(x-4)+y'=12 からyを消去すると (x-4)?+(mx)?=12 (m°+1)x°-8x+4=0 O中 B 中 23 の P よって 0 2次方程式0の判別式をDとすると VBTCE A x 式で表さ =(-4)-4(m°+1)=4(3-m) D 4 F20 直線と円が異なる2点で交わるとき,D>0 であるから 3-m°>0 すなわち m'<3 交点 A, Bのx座標をそれぞれα, Bとすると,これらは 2次方程式0の異なる2つの実数解である。 ワ=0から -23 OはA,BArkるから(かなな6 重をてマた。lてokでだうたね 2 解と係数の関係により がある。 も制。 8 α+B= 4 更に aB= で m°+1 m?+1 あるが,ここでは使わ ない。 こる。 よって,線分 ABの中点をP(x, y)とすると a+8 X=ー 2 4 3, ソ=mx m?+1 (m°+1)x=4 (3 83DSI 3から る また,3より xキ0 であるから, ④より mミ x 44xキ0 であるから, x で割ってもよい。 \2 を'に代入して(+1x=4 -の -1}x=4 x ゆえに y+x=4 よって x y+x=4x (x-2)+y°=4 2より 0Sm'<3 であるから 分母を払って 整理すると 1Sm'+1<4 つなぎの文字 mの条 件を忘れずに。 く %1 09勝 各辺の逆数をとって 大箱 よって,3 から 4 m?+1 1<x<4 (mの値に制限があるか したがって,求める軌跡は ら、 x, yの値の範囲に も制限がある。 円(x-2)?+y°=4 の 1<x<4 の部分。 を求ぬよ 大北東 2) 点 のを求め 軌跡と方程式 顔をと

数学【軌跡と方程式】の答えの書き方の質問です。 写真左は私の解答、右が模範解答です。 計算は理解できていますが、日本語のところ？がわかりません。 私の答えの下から1.2.3行目の書き方は正しいですか？ それとも、答えみたいにもっと詳しく書かなければいけませんか？

回 2点 A(-3, 0), B(2, 0) からの距離の比が2:3である点Pの軌跡を求めよ。 あPの座標を(入)とする。 AP: BP= 2:3 より、 3AP- 28P AP = J「スーヒ+げ BP: J(a-2)4 0より、2乗して。 9APニ4BP:から、 AP= 9(Xイ3)) 4BP-41X-2)リ) のから、 9et3)-4{0-2 整理に、 99454X+8+9ザ=4ー16ス+16 +44 9メキタイス8+94-487ルx-6-44-0 5x+70%+54- -65 5で割って Xキ4x+ゲーー13 (xキ1リスナプ)ーラャプ (メ+7)+4ー 36 円のは件を満たしている。 したがって、よっPの車軌跡は、 8に70)1半経が6の円である。 13 13 39 13 169 ー代 も。 65 2 -13449 515 3 [答え] Trty オ(x-6)°+y° カ 16 キ 48 ク8ケ8 コ0