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[専修大]
基本例題 119 最大公約数 最小公倍数と数の決定 (2)
次の (A), (B), (C) を満たす3つの自然数の組(a, b, c) をすべて求めよ。ただし、
a<b<c とする。
(A) a,b,c の最大公約数は 6
(B) 6 とcの最大公約数は 24, 最小公倍数は144
(C) aとbの最小公倍数は240
p.525 基本事項 3,基本118
指針 前ページの基本例題 118 と同様に, 最大公約数と最小公倍数の性質を利用する。
2つの自然数a, 6 の最大公約数をg, 最小公倍数をl, a = ga', b=gb′とすると
3ab=gl
a' と'は互いに素 21=ga'b'
(A)から, a=6k, b=6l,c=6mとして扱うのは難しい (k,l,mが互いに素である。
とは仮定できないため)。 (B) から 6, c, 次に, (C) からαの値を求め、最後に(A)を満た
すものを解とした方が進めやすい。
このとき, b=246',c=24c'b', c'は互いに素でB'c') とおける。
最小公倍数について 246'c' =144 これから6' C を求める。
(B) の前半の条件から, b=246', c = 24c′ と表される。
解答ただし、B', c'′ は互いに素な自然数で b'<c'... ①
(B) の後半の条件から
246'c' =144 すなわち B'c' = 6
これと ①を満たす6', c'の組は
(b', c')=(1, 6), (2, 3)
ゆえに (b, c)=(24, 144), (48, 72)
(A)から, aは2と3を素因数にもつ。
また, (C) において
240=24･3･5
[1] 6=24(=2･3) のとき, αと24の最小公倍数が240
であるようなα は
a=24･3･5
これは,α<bを満たさない。
[2] b=48(=2*•3) のとき, a と 48 の最小公倍数が 240
であるようなa は
a=2・3･5
ただし p = 1, 2,3,4
$1=8+5
α<48 を満たすのはp=1の場合で,このとき
30,48,72の最大公約数は6, (A) を満たす。
以上から
(a,b,c)=(30,48,72)
a=30
◄gb'c'=l
b=246', c=24c
3つの数の最大公約数は
6=2.3
240=24･3･5
[1] 6=2³.3
[2] 6=2¹.3
これからの因数を考
える｡
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