17ド・モアブルの定理(II)
(1)x2+px+q=0 (p,g:実数)が虚数解をもつとき,その1つをαと
する. |α| を求めよ.
(2) z+
4
2
-=2 をみたす複素数 zについて, z を求め, zを極形式で表
せ.ただし, 0°≦argz ≦ 180° とする.
(3)(2)のzについて, z” が実数となる最小の自然数nを求めよ。
|精講
(1) 2次方程式(係数は実数)が虚数解をもつとき,それらはα
と表せます.|a|=aa (14) を思い出せば,解と係数の関係
(IIB ベク21) で解決です.
(2) 分母を払えば2次方程式ですから,解の公式でzを求めておいて,
0°≦arz≦180°となる方を選ぶだけです.
(3) 「z”が実数」とは,「(z”の虚部) =0」 ということです.
解 答
(1)x2+px+g=0の2解はα, a と表せるので解と係数の関係より,
aa=q
∴|a|=aa=g よって, |a|=√g
注 g≦0 のときを心配する必要はありません.
g≦0 のとき,D=p2-4g≧0 だから,x+px+g=0は実数解を
もちます.すなわち,
「g≦0→x+px+g=0 は実数解をもつ」は真.
対偶を考えると ( IA24)
「x2+px+g=0が虚数解をもつ→g>0」も真.
4
(2) z+=2より, z2-2z+4=0
Z
解と係数の関係より,Yz=zz=4
|z|>0 だから,||=2
また、2=1312 (12/21)
i=20
0°≦argz≦180°より,この虚部は正だから
