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基本例題85 座標を利用した証明 (2)
|AABCの各辺の垂直二等分線は1点で交わることを証明せよ。
指針>p.117基本例題72 と同じように, 計算がらくになる 工夫をする。
133
基本 72
D 座標に0を多く含む
O 座標の工夫
この例題では,各辺の垂直二等分線の方程式を利用するから, 各辺の中点の座標に分数が
2 対称に点をとる
現れないように,A(2a, 26), B(-2c, 0), C(2c, 0) と設定する。
本間は三角形の 外心 の存在の,座標を利用した証明にあたる。
解答
ZAを最大角としても一般性を失わな
このとき, ZB<90°, ZC<90°
注意 間違った座標設定
例えば,A(0, b), B(c, 0),
C(-c, 0) では, △ABCは
二等辺三角形で,特別な三角
形しか表さない。
座標を設定するときは, 一般
性を失わないようにしなけ
ればならない。
A(2a,2b)
である。
直線 BC をx軸に, 辺BCの垂直二等
分線をy軸にとり, △ABCの頂点の
座標を次のようにおく。
A(2a, 26), B(一2c, 0), C(2c, 0)
ただし a20, b>0, c>0
また。ZB<90°, LC<90° から, aキc, aキーcである。
更に、辺 BC, CA, ABの中点をそれぞれL, M, N とする
L(0, 0), M(a+c, b), N(a-c, 6)
N)
M
Ic
0L
K
B
-2c
C
2c x
証明に直線の方程式を使用
するから,分母=0 となら
ないように,この条件を記
している。
と表される。
と、
辺 ABの垂直二等分線の傾きを mとすると, 直線 ABの傾き
b
atc
0-26
b
であるから, m·
-=-1より
atc
は
atc
m=-
b
-2c-2a
atc
よって, 辺 ABの垂直二等分線の方程式は
点N(a-c, b) を通り, 傾
atc
き
ソー6=-TC(xーa+c)
b
の直線。
b
820
すなわち
atc
a°+8-c
の
ソ=ー
6
b
辺ACの垂直二等分線の方程式は, ①でcの代わりに 一cと
辺 ACの垂直二等分線は,
おいて
a-c
x+
a+-c
2
傾き
b
の直線 AC に
ソ=ー
a-c
b
線0, 2の交点をKとすると, ①, ②のy切片はともに
+8-C
垂直で,点 M(a+c, b)を
通るから, Oでcの代わ
りに -cとおくと, その方
程式が得られる。
であるから K(0,
a'+6°-c?
b
b
,y軸すなわち辺BCの垂直二等分線上にあるから,
BCの各辺の垂直二等分線は1点で交わる。
章3 直線の方程式、2直線の関係
