直線のベクトル方程式について質問です。 写真に定数-ax1-by1=cとありますが、なぜこれが定数なのでしょうか？

点A (d) を通り, 法線ベクトルがである直線のベクトル方程式 (p-a) n = 0 A P このベクトル方程式を成分表示にすると、 直線の方程式の一般形が得られ 点P(x,y),点A(1,91), n = (a,b) とおける . このとき i-d=(x,y)-(1,3/1)=(x-31,3-3) よって さらに (p-a) n=0 £a(x-x₁) + b(y - y₁) = 0 定数-a-by=c とおくと ax+by+c=0

下線部の意味が分かりません。 教えていただきたいです。

10 (x,y) とし, n = (a,b) とすると 15 D 直線と法線ベクトル 点A(a) を通り, 0でないベクトルに垂直な直線をg とする。 点P(D) が直線上にあることは (x, y) NAP または AP= 0 5 が成り立つことと同値である。 これは,内 積を用いて, n.AP = 0 と表される。 すなわち n (p-a)=0 これは直線gのベクトル方程式である。 点A, Pの座標を, それぞれ (x1, yi), 第2節 ベクトルと平面図形 41 p-a=(x-x1, yy1) P.18の公式より であるから, ベクトル方程式 n.(p-a)=0 (a,b). (x-x₁, y - y₁) は次のようになる。 a " 0 n A(x1, yi) n=(a,b) P (X₁,4₁) P(x,y) g a(x-x)+b(y-y1)=0→P.22 内積と成分 この式は, c=-axi - by とおくと, ax+by+c=0と書き直される。 直線に垂直なベクトルを直線gの法線ベクトルという。 直線とその法線ベクトルについて,次のことが成り立つ。 x 第 章 平面上のベクトル 1点 (x1, y) を通り, n = (a,b) が法線ベクトルである直線の方程 式は a(x-x₁)+b(y-y₁)=0 2直線ax+by+c=0において, n= (a, b) はその法線ベクトルで ある｡ 例 14点 (12) を通り, n = (4,3) が法線ベクトルである直線の方程 式は 4(x-1)+3(y-2)=0 すなわち 4x+3y-10=0

この問題の（2）がわかりません教えてください😿😿😿😿😿😿😿😿😿😿😿😿😿なぜnベクトル分のnベクトル✖︎HPをするのですか

4点P(x1,y1) と, 直線ℓ: ax+by+c=0 について, の問いに答えよ。 O (1) 点Pから直線lに垂直に引いた直線と直線l との交 蓋をH (x2, y2) とし, n= (a,b) とすると |z.HP|=|z||HP| であることを示せ。 n'THE NEHTP a 0 ₁² Cost = ±1 2 [EPICOSO FOIS 1²₂ HP 1₂ [W||HP|| 00501 = 12² ||HP|. 2 Q √a²th ² d = (ax (+by ₁-(-_^)! √a²th² ACARにおいて辺OAを3:1に内分する点を C, 辺OB |ax₁ +by₁+c\ (2)(1) より,点Pと直線ℓの距離 d が,次の式 d= 2 | X d = [HPI = [WxHPL [a(x₁-x²)+_ A(Y+ y₂) | 2 Xx₂+ly 2+C =0 ax₂thy ₂ = C l n = (a, b)p(x₁, y₁) 7 H (X2, 32) で表されることを示(cxzte at the [0xity, tcl [att hit

線型代数の問題になります。 赤マーカーでなぜそうなるのかがわかりません。教えてください

ぞ 上の ”と 形 コ, う 直交座標系 {O;ei, C2, C3} が定められているとする。 2 2+3 3 はべき等変換であることを示し,標準的な基底{ex,ex,ex} に関する表 を直線にそって平面へ平行射影する線形変換とする。このと を求めよ。 1 12 =(2,-3,5)である.これらは1次独立だからP={P1,P2,P3}はｱの基 平面は P1=(-3,1,0),P2=(1,0,1) で張られ、直線の方向ベクト あり、P=PP2 P3] とおくと, Pは正則である.fの定義から はべき等変換である. B=PAPだから 100 -3 1 2 10 -3 A=P010P-1 000 01 からもわかる. だから、fの基底に関する表現行列 B は B = 010 である. B2 = B から 000 14 6 -2 -3 3 3 5 15 7 平面: +3y-2+4=0 f(p2)=P2 f(pg) = 0 = 103 100 010 5 000 1 12 -3331 5 15 7 -1 -3 1 である。 fがべき等変換であることを示すのに,A2=Aをいってもよい. これは直接計算 で確かめられるが, A2 = (PBP-1)2 = PB2P-1 = PBP-1 = A

空間ベクトル 答えの丸がついているところはどうしてa=b=1と分かるのですか？ 1じゃなくて2とか3でも当てはまってしまう気がするのですが

04 00000 演習 例題 79 平面の方程式の利用 座標空間に4点A(2, 1,0), B(1, 0, 1),C(0, 1,2), D (1,37) がある。 3点A,B,Cを通る平面に関して点Dと対称な点をEとするとき, 点Eの座標 [京都大] 演習78) を求めよ。 指針> ここでは, 平面の方程式を利用して解いてみよう。 まず、前ページと同様に, 平面ABC の方程式を求める。 次に 2点D,Eが平面ABC に関して対称となるための条件 [1] DE⊥ (平面ABC) [2] 線分 DE の中点が平面ABC 上にある を利用して点Eの座標を求める。 解答 平面 ABC の法線ベクトルを n = (a,b,c) とする。 AB=(-1, -1, 1), AC = (-2, 0, 2) であるから, n・AB=0, n.AC=0 より -a-b+c=0, -2a+2c=0 よって b=0,c=a ゆえに n=α(1.0.1) 0.0 a=0 からn=(1, 0, 1) とすると, 平面ABC の方程式は 1×(x-2)+0×(y-1)+1×(z-0)=0 すなわち x+z-2=0 E(s, t, u) とする。 DÉ」 (平面ABC) であるから DÉ//n ゆえに, DE=kn (k は実数) とおける。 (s-1, t-3, u-7)=k(1, 0, 1) よって ゆえに s=k+1,t=3,u=k+7 線分 DE の中点 ( 8 +1, t+3 u+7 から,①に代入して s+1 + 2 s+u+4=0 ...... u+7 2 -2=0 }-- よって ② ③ から k=-6,s=-5, t=3, u=1 したがって E(-5, 3, 1) ...... が平面ABC 上にある D. E n (平面ABC) DE-OE-OD L 「平面ABC の方程式を ax+by+cz+d=0 として 求めると, 2a+b+d=0, a+c+d=0, 6+2c+d=0 から b=0, c=a, d=-2a ゆえに x+z-2=0 n 平面ABC ▼中点の座標を平面ABCの 方程式 ①に代入。 ②③ に代入して (k+1)+(k+7)+4=0

四角で囲ってある部分の出し方がわかりません。どうしてbで括ってるんですか？またどうして具体的な値が出てきたのかもわかりません。 教えてください

S 重要 例題 70 3点を通る平面上の点 の面料 3点 A(1,-1, 0),B(3,1,2),(3,3, 0)の定める平面をαとする。点 P(x,y,z)がα上にあるとき, x,y,zが満たす関係式を求めよ。 CHART SOLUTION 解答 平面αの法線ベクトルを n = (a,b,c)(n=①) とする。 ここで AB=(2, 2, 2), AČ=(2, 4, 0) さ n.AB=0 3点 A,B,Cが定める平面α上にある点P(x,y,z) ①点A(a) を通り,nに垂直 n.p-d= ② OP = SOA+tOB+uOC,s+t+u=1 を満たす 平面αに垂直なベクトル (法線ベクトル) AAC から求められる。 このに対し、AP=0 から x,y,zの関係式を求める (1の方針)。 別解は2の方針。 s, t, u を x,y,zで表し, s+t+u=1に代入する。 LAB であるから よって TEL AC であるから ゆえに 2α+46=0 a=-26 ②から よって n = 0 であるから, 6=1 として 2a+2b+2c=0 したがって ...... n.AC=0 ...... 2 これと①から n=6(-2,1,1) どこからきた? 64) ① |_c=b 1, 1)……(*) n=(-2, n•AP=0 点Pは平面上にあるから 200 AP= (x-1,y- (-1), z-0)=(x-1, y+1, z) であるから -2x(x-1)+1×(y+1)+1×z = 0. 2x-y-z-3=0 p.438 基本事項 4,基本 60 SEKS TAAHO 1の方針。 んを成分表示する。 n A B inf. 一般に,平面に垂直 な直線をその平面の法線 といい, 平面に垂直なベク トルをその平面の法線ベ RAJ クトルという。 (*) において, n = 0 であ れば,bはどの値でもよい。 一般に、1つの平面の法線 ベクトルは無料に C (1

α=45というのは法線ベクトル同士の角度ですよね？ なぜそれが答えになるのですか？

Check 例題 362 2直線のなす角 次の2直線がなす角0 (0°≧0≦90°) を求めよ. (1) 2x-y+3=0, x-3y+5=0 (2) √3x+y-1=0, (√3-2)x-y-1=0のHが必要 考え方 解答 2直線の法線ベクトルを利用し, 内積からなす角を求める 2直線l1,l2のなす角を0(0°≧≦90°), 2直線の法線ベクトル n1, n2のなす角を α (0°≦a≦180°) とすると、 右の図より 0°≦α≦90°のとき,0=α 90° <a≦180° のとき, 0=180°-α U • V | u || v | cos a=- 180°-a li (1) 2x-y+3=0 の法線ベクトルの1つをu と すると, u=(2, -1) +3 (v 09 AGIR x-3y+5=0の法線ベクトルの1つを とすると, v=(1, -3) -RAQUE DA 2つのベクトル - li = ひのなす角をαとおくと, 2.1+(-1)・(−3) √√5√10 GAMIN 5 1 1 RUA) 1/1/1 5√ 2 √2 = nian₂ AR AIR 80=a したがって、 0°≦a≦180°より,α=45° よって, 2直線のなす角は0°90°より、 FOR ** 75 0=180°-a x-3y+5=0 YA BL0- 2xy+3=0 MOHA -Q) 0=45° 3 530 30 2 118 ni 1) -li

(2)について質問です A、Bの座標はどうやって分かったのですか？？

510 2 平面の交線, それを含む平面の方程式 ①, B:3x+4y-3z+12=0 演習 例題 84 2 平面 α: 3x-2y+6z-6=0 ...... l とする。 (1) 交線の方程式をメーズリーリス-2の形で表せ。 m n (2) 交線lを含み, 点P(1, -9, 2) を通る平面の方程式を求めよ。 解答 2(y+3) よって 3 ゆえにz=-x 2(y+3) x=y+3 よって, -x= = から 3 2 3 2 (2) 交線l上に2点A(0, -3, 0), B(-2, 0, 2) があるから, yは3点A,B,Pを通る平面である。(1)(L)+ 平面yの法線ベクトルを n = (a,b,c) (n=①) とする。-) + AB=(-2,3,2), AP = (1, -6, 2) であるから, AB より n AB=0 よって NAPより n·AP=0 よって (1) ②① から 6y-9z+18=0 ①×2+② から 9x+9z=0 練習 084 指針 (1) 2 平面 α, β が交わるとき, αと β の共有点全体は1つの直線になる。 この直線を2 平面α,ßの 交線 といい,その方程式は x,y,zのうち2つを残り1つの文字で表す ことで導かれる。この例題では, ①, ② から x を消去してz=(yの式), y を消去して z=(xの式) が得られ, (xの式) = (yの式)=z を導いている。 (2) 平面は3点で定まる。 平面yは、 交線l上の2点と点Pを通る。 ③ ④ から a=3b, c=- 3 20 z= 2006 -2a+36+2c=0 a-66+2c=0 b ゆえに n=2(6, 2, 000 ②の交線を 2-21 ・3/ よって 演習 79 ZA22 B α x 2 94 v=0-2 m (s) より, b=0であるから = 6,2,3)とする。 よって,平面yは点A(0, -3, 0) を通り, n = (6,2,3) に垂直であるから,その方程 式は 6x+2(y+3)+3z=0 5 6x+2y+32+6=0 DAYS** (3) 4 0812,020 [参考 2 平面α: 3x-2y+6z-6=0, β:3x+4y-3z+12=0 の交線を含む平面の方程式 (ただし, A で表され 平面αを除く) は, kを定数として,k(3x-2y+6z-6)+3x+4y-3z+12=0 る。このことを利用して, (2) を解くと、次のようになる。 27k-27=0 A にx=1, y=-9, z=2 を代入すると これをAに代入して 6x+2y+3z+6=0 $49 k=1 2平面α:x-2y+z+1=0….. ①, B:3x-2y+7z-1=0… ② の交線をl とする 20 x-x1 y-yi (1) 交線l の方程式を 1 の形で表せ。 m n (2) 交線l を含み, 点P(1,2,-1) を通る平面の方程式を求めよ。

ベクトルの問題です。教えてください

21:30 7月11日 (月) 【1】 空間内に平面α:x+3y+2z=10と, 直線 1:x=y+2= ・および 2+6 5 点P(2,2,8) がある. (1) 直線を含み, 点Pを通る平面の方程式を求めよ. 平面 3: 1 x+ 2 y-²= 3 (2) 平面 αと平面βの交線の方程式を求めよ. x=-y+4=2 5 ( 30点) ( 30 (3) 平面 αと平面βのなす角を0とするとき, 0 の値を求めよ. ただし、0°≦0 ≦ 90° とする. 0=|6|7 。 (40点) 78%

(1)から計算が合いません。教えてください。『ベクトル』

21:30 7月11日 (月) 【1】 空間内に平面α:x+3y+2z=10と, 直線 1:x=y+2= ・および 2+6 5 点P(2,2,8) がある. (1) 直線を含み, 点Pを通る平面の方程式を求めよ. 平面 3: 1 x+ 2 y-²= 3 (2) 平面 αと平面βの交線の方程式を求めよ. x=-y+4=2 5 ( 30点) ( 30 (3) 平面 αと平面βのなす角を0とするとき, 0 の値を求めよ. ただし、0°≦0 ≦ 90° とする. 0=|6|7 。 (40点) 78%