基礎問
68 平均値の定理
0<a<b のとき,平均値の定理を用いて
1<logb-loga <-
b
を示せ.
b-a
a
精講
次の性質を 「平均値の定理」 といいます。
関数f(x)がa≦x≦bで連続, a<x<bで微分可能ならば
f(b)-f(a)_
b-a
L=f'(c), a<c<b
をみたすcが少なくとも1つ存在する
この定理の図形的意味は、 右図のように, 2点
A(a, f(a)),B(b, f (b)) を結ぶ線分と平行な接線が,α
との間に少なくとも1本(右図では2本) 存在すること
を示しています. ところでこの定理は, 受験生にとっては
気が付きにくい定理ナンバーワンだといわれています。
平均値の定理を使うときはポイントにかいてある2つを考えるところから始
まりますが、この定理の本体は等式にもかかわらず不等式の証明に有効なのは、
a<c<b を活用しているからです.すなわち, a <c<b を使って
a c₁
f(b)-f(a)
ab
A<f'(c) <B としておいて, f'(c) のところに
を代入する
b-a
ことで不等式を証明します。
解答
関数f(x) =logx の区間[α,6] において平均値の定理を適用すると、
f(x)=1であることより、
I
logb-loga_1
b-a
C
(0<a<c<b)
をみたすcが少なくとも1つ存在する。
ところで,f(x)=1 は x>0において単調減少だから、
I
