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整数の性質(20点)
10進法で表された自然数 M, N がある。Mを5進法で表すと3桁の数 abces となり、
Nを4進法で表すと3桁の数 cba) となった。
(1) a=1, b=2, c=3 のとき、M, N の値をそれぞれ求めよ。
(2) M+N=43 のとき,a, b, cの値をそれぞれ求めよ。また,このときの M, N の値を
それぞれ求めよ。
(3)(2)で求めた M, N の値に対して、xy-2x+13y= M*-N* とする。この方程式を満た
す自然数x,yの組 (x, 9)をすべて求めよ。
配点
(1) 4点(2)8点(3) 8点
解答
a=1,b=2,c=3 のとき
abcs - 123 (m), gbaco = 321()
5進法で表された数123mを 10進法で表すと M であるから
M=1×5"+2×5+3= 38
4進法で表された数 321()を10進法で表すと N であるから
N=3×4"+2×4+1= 57
圏 M- 38, N- 57
A5進法で表された数を10進法で表してM の値を求めることができた。
完答への
道のり
O4進法で表された数を10進法で表して N の値を求めることができた。
5進法で表された数 abes を10進法で表すと M であるから
M=a×5"+b×5+c
4M, Nをそれぞれ 10進法の式で
表す。
= 25a+56+c
4進法で表された数 cbaa) を 10 進法で表すと Nであるから
N=c×4"+b×4+a
=a+46+16c
よって
M+N=(25a + 56+c)+(a+4b+16c)
26a+96+17c
M+N= 43 のとき
26a+96+17c - 43
…の
abew, cbau が3桁の数より
a, cは、1, 2,3のいずれか
bは0,1,2,3 のいずれか
である。
4abc) は5進法,cbau は4進法
で表された数であるからa,b, eは
4は
0, 2,のいずれかであり,3桁
の数になるからa, cは0ではない。
4a21, c21 を利用して不等式
をつくり,bの値をしばり込む。
a21, c21より
26a+96+17c 26-1+96+17·1
26g+96+17c 9%+43
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