数Ⅲ極限の問題です 部分和の最後のnがどうしてこうなるのか分からないです。 教えてくださいm(_ _)m

無限級数 1-- + 1 1 1 11 1 + + 2 2 3 3 4 4 ①について (1)級数 ①の初項から第n項までの部分和を S, とするとき, Szn-1, S2n をそれ ぞれ求めよ。 (2) 級数 ① の収束, 発散を調べ, 収束すればその和を求めよ 指針 (1) S2-1 が求めやすい。 S2n は Szn = Szn-1+ (第2項)として求める。 (2)前ページの基本例題42と異なり,ここでは()がついていないことに注意。 このようなタイプのものでは, Snを1通りに表すことが困難で, (1) のように, S2n-1, S27 の場合に分けて調べる。 そして,次のことを利用する。 [1] lim S2n-1= limS2 = Sならば limS=S n→∞ 818 [2] lim S2n-1≠lim S2n ならば 818 基本42 2章 4 無限級数 {Sn} は発散 n→∞ n→∞ (1) + 上 1 1 (1) S2n-1=1- 1 1 1 1 1 + + - + + 24-2 2h-1 となら 解答 2 2 3 3 nn ないの? 1 1 =1 - 2 3 ( 1 n n 部分和(有限個の和) なら ( )でくくってよい。 =1 1 1 S2n=S2n-1 =1- n+1 n+1 (2) (1)から 81U (x- よって lim S2n-1=1, lim S2,= lim(1) limSn=1 n→∞ n→∞ したがって, 無限級数 ① は収束して, その和は1 参考 無限級数が収束す れば,その級数を、順序を 変えずに任意に() でく くった無限級数は,もと の級数と同じ和に収束す ることが知られている。 8

1行目で問題の式は漸化式が立ちそうと書いてあるのですが、なぜわかるのですか？

54 数列{an}, {bn} を α = 3. b1=2 2 An+1= an² +2bnbn+1=2anbn (n≧1) で定める。 (1) an² -26m² を求めよ。 an (2) lim を求めよ。 n→∞ bn ☆☆☆ 30分 (京大・理系・02後) 理解 {an},{bn} の漸化式が与えられているから, an-26m² も漸化 式が立ちそうです。 Cn=an-26m² とすると, Cn+1=an+12-26n+12 =(an²+2bn²)2-2(2anbn)2 + 4 2 2 = an² - 4an² bn² + 4bn4 与えられた 漸化式を代入 =(an-26m²)2 = Cn 2 入してみると、

左下半分から右上半分で言っていることって、指数部分は整数しかこないということであってますか？

これで, In-yn=(zo-yo) (2a-1)=(2a-1)" xn+yn=(xo+yo)1" d =1 ©+@ だから, で、 2 スタートならn-1乗ですが co-yo スタートなのでn乗です。 Xn= =1/2(21-1)+1/2 あとは,数列{.xx} が収束するための必要十分条件です。 計画 京大では,極限の問題であっても、「求めよ」ではなく,本間 のように「収束する (必要十分) 条件を求めよ」としてくる場 合がよくあります。 京大らしいですね。 本問ではn→∞で,In の式でnがからんでいるのは (2α-1)” の部分 だから,これは「無限等比数列の極限」になります。これとカン違いしや すいのが「指数関数の極限」で,収束条件がごちゃごちゃになりやすいの が「無限等比級数」です。ここで確認しておきましょう。 まず、「無限等比数列」、 「指数関数の極限」は, 無限等比数列 8 (r>1のとき) limr"=1(r=1のとき) 00-11 0 (-1<r<1のとき) r≦-1のとき{r} は振動 しかし、指数関数のは実数であり,α ≦ 0 はダメです。 たとえば, a=-2, として、dioを勝手に<0の場合に拡張して使うと、 (-2)=√-2=√2i となり虚数になってしまいます。 高校数学では, 実数値を入れたときに実 数値を出す 「実数関数」 しか扱いません (大学に入ると, 複素数に拡張さ れた 「複素関数」を扱います)。 したがって, a< 0 はマズイんです。a=0 は何乗しても0,α=1は何乗しても1だから, α = 0 1 もはずして, んですね。 指数関数では,a > 0, a ≠1で考える ただし、問題で与えられた数式の形によっては, α = 0 やα=1の場合 について, 1=1やO* = 0 (0° は高校では未定義なので除外して考えます) を使って計算することもあります。 次に、「無限等比数列」 と 「無限等比級数」は, ◆無限等比数列の収束条件 数列{r-"}が収束するため の必要十分条件は, -1<r≤1 無限等比級数の収束条件 無限等比級数 a + ar + art...... 無限等比数列の方は,∞と振 動の場合がダメなので, +arn-1+………… が収束するための必要十分条件は, -1<r<1 または α = 0 で,その和は, limr"=1となる1 a -1<r<1のとき, wwwwwww 1-r limr" = 0 となる-1<r<1 wwwwww 指数関数の極限 8 (a>1のとき) limax 0 (0 <α <1 のとき) どちらも●の形なのですが、指数関数ではα=1やa≧0は考えませ ん。 大丈夫ですか? 無限等比数列のnは自然数だから,r≧0であっても OK です。たとえ ば,r=-2なら, (-2)'=-2, (-2)^=4(-2)=-8, のように値が定まります。 11-00 を合わせて, 収束する条件は, -1<r≦1←r=1のときも収束します。 a=0のとき,0 一方,無限等比級数の方は、部分和をS とすると, ●a=0のとき S=0 ∴ lim S=0 (収束) ●a≠0,r=1のとき n→00 Sn=na ... 数列{Sn} は発散 ●a0r1のとき Sn a(1-rn) r=1のときはこの 1-r 公式が使えません。 248 第7章 極限・微分 テーマ32 極限 ① 249

（2）が分かりません。 X→2-0のときはXは-から2に近くので分子は－、分母は二乗なのでプラスの値をとりながら０に近く。 なので、答えは-♾になるんじゃないのでしょうか？

*82 次の関数についてx→2-0, x → 2+0, x→ 2 のときの極限をそれぞ れ調べよ。 1 (1) x-2 x (2)(x-2) 1 (3) x2-4

数Ⅱ微分についての質問です (2)において｢定義に従って｣という記述がないにも関わらず、定義に従って微分しているのはなぜでしょうか？ 基本的に｢定義に従って｣という記述がない時は極限を使わなくていいと思っていました

316 基本 例 195 平均変化率と微分係数 関数f(x)=xxについて、 次のものを求めよ。 (1) x=1からx=1+h (h≠0) まで変化するときの平均変化率 (2) x=1における微分係数 (3) 曲線y=f(x) 上の点A(t, f (t)) における接線の傾きが-1 となるとき, tの値 f(b)-f(a) 指針 (1) 平均変化率は y f(b) P.314 基本事項 11, 2 重要 196、 y=f(x)/ a=1, b=1+h とする。 b-a f(a) 傾きf(a) (2) x =α における 微分係数は f(b)-f(a) O f'(a)=lim b-a a b x b-a または f'(a)=lim h→0 f(a+h)-f(a) h (3)点Aにおける接線の傾きは、微分係数 f(t) に等しい。 f(1+h)-f(1)(1+h)-(1+h)-0_h+h h=0であるから,んで 約分できる。 <a=1,6=1+hで, (1) = = 解答 (1+h)-1 h h =h+1 分母が0にな「ないようできるだけ事形 (2) (1) から f'(1)=lim f(1+h)-f(1) =lim(h+1)=1 別解 f(1)=limf(b)-f(1) =lim- 62-6 b(b-1) =lim b-1 6-1 b-1 6-1 6→1 b-T h→0 (1+h)-1 h→0 6 →aとん→0 は同値。 f(b)=62-b,f(1)=0 =limb=1 61 (3)f(t)=limf(t+h)-f(t) h→0 =lim h→0 h {(t+h)2-(t+h)}-(t-t) =lim h→0 2th+h²-h h h =lim(2t+h-1)=2t-1 h→0 点Aにおける接線の傾きが-1であるから 微分係数 f(t) を求める。 ◄2th+h²-h =h(2t+h-1) h≠0であるから,んで 約分できる。 f'(t)=-1 よって 2t-1=-1 ゆえに t=0

なぜ無限大になるんですか？？？ 解説がなくて困ってます… どなたか教えてください🙇‍♀️

81 (1) lim 1 x-3 (x-3)² 31 =8

極限求めるのが苦手です。教えて欲しいですお願いします

eを自然対数の底とし, 対数は自然対数とする。 関数f(t) および g (t) を, それぞれ et - e-t f(t): et - e-t = 2 (e' + e)' g(t) 2 とする。 limf(t) (1) lim f(t) = |7 lim f(t) = である。 8117 t→8 ただし, ア イについては、以下のA群の~⑨からそれぞれ1つ を選べ。 ここで,同じものを何回選んでもよい。 A群 (3) 7 1|41|2 12 1 ⑩ 0 (4) (8 8 - 1 4 ① 1 -1 (9) 88 e 9) (6) -e

(3)までは解けたのですが、(4)に関しては合成関数の微分などを使いながら強引にやってみたのですが、おそらく間違っているので正しい解答を教えてほしいです。

0 私大対策数学 【同志社/立命館】 25 座標平面上に曲線C:y=ex (x>0) と曲線 D: y=1 + log x(x>0) がある。 (1) C上の点P(s,ers)におけるCの接線を l とする。 接線 l の方程式をsを用いて表せ。 (2)D上の点Q(1+10gt) における D の接線 は (1) の接線 l と垂直に交わるとする。 このとき,ts を用いて表せ。 (3)(1)の接線lの切片をu とし,u をs の関数と考える。このとき,s>0 においてぇは単調に減 示せ。さらに,sがs>0の範囲を動くとき,"の値域は>1であることを示せ。 少することを (4)(3)のsu(1) に対して,sを”の関数と考える。このとき, ds をsを用いて表せ。 さら に,sで表さ du れた (2) のに対して, du dt =1 となるuの値を求めよ。 ただし, suの関数とし て微分可能であることを証明な 1 しに用いてよい。 te (1) C: y = ex. (-) 1 xe 1 : 1 = -e(x-s) +e=ex+e(+) (2) D:y=1/ mの 傾きは↓で、条件より、 e² = = - 1 1 = ± e² (3) u = (1 + 1 ) = (1+1) + (-)--(1+())-(2+) SSDにおいて、U'<Oより、題意を満たす。 (4s+//+5) u (2)²² lim bmu=1 よって、SDのとき、">] (2+1) (+)/ (4)=(1/2)について両辺について微分すると =(1/2)(1+1/2)+(-1/23s') -s' (2+1/2)=1 1-$ JJ = dt du S S= S(2+1) 5.5·1-3) (S)(2+1 S (2 + 1/3) e' s 1] 1 S S s' (2+ √ √3)² 45+//+5 (2+3) es (25 (2+)²) - s² ² ² + (a + })() (2 + √ √ √) ² e ³ ³ ³ S S2 (2+3)= (2+3)²

ここどうやったらhを＋から限りなく0に近づけて0になりますか？？

x よってf(x)=f(ext =-ex+x+D (Dは積分定数) (2) ② f(x)はx=0で微分可能であるから, x=0で連続である。 limf(x) = limf(x)=f(0) x-0 limf(x)=lim(ex-x+1)=2 x+0 x+0 limf(x)= lim(-e*+x+D)=-1+D x-0 ゆえに x+0 ①から ②から よって したがって このとき, lim ex-1 x0 X 011X 2=-1+D=f(0) lim →+0 lim 0114 f(x)=-ex+x+3 =1から f(x)は ゆえに D=3 必要 (1-5 逆の = lim h ん→+0 eh-h-1 h =0, lim h-+0 f(h)-f(0) f (h)-f(0) = : lim h h--0 -e+h+1 =0 h よって, f'(0) が存在し, f(x) は x=0で微分可能である。 ex-x+1 以上から f(x)= - (x≧0) ex+x+3(x<0) lim 0114

絶対値rが1より大きいという不等号の式を絶対値1/rの不等号にし直すのはなぜですか？オレンジで線引いてるところ分かりません😿

(2) キ±1 のとき rn +2 rn-1