自分の答えと正解が違っているのですが、自分の答えは×なのでしょうか？

3 証明する。 1=2のときht1は819で奇数になる。 よって対偶は為 したがってもと命題は為 梼文字を用いて証明 する が奇数のとき、hはある整数を用いてn=2k+1とされる。 このときn'tに2k+1)+(8k24126465+1)+1 (4k3662+3k+1) 413462+3+1は整数であ から31数である。よって対偶は夏である ⑧ [4STEP数学Ⅰ 問題115] したがってもと命題は真である。【8月4日】 が無理数であることを用いて,次の数が無理数であることを証明せよ。 1 (2) 2+√3 2+3 このとき が無理数でないと仮定する。 27万は有理数であるからとを有す数として みと溶せる。 V=2=53 √3 = -V+20) 有理数であるから①の左辺も有利数である。 よって①から有理数となり、3が無理数である ことに矛盾する。 したがっては無理数である。 2

数Ⅰの集合と命題についての質問です。 なぜ、｢a<bはac<bcであるための必要条件でも十分条件でもない｣のですか？a,b,cは、全て実数です！

【中1数学　方程式の利用】 この2問お願いします！ 出来れば解説欲しいです、！

* 3 次の問いに答えなさい。 ☆教会、1人に5枚ずつ配ると と5枚足らないか (1) 38人のクラスで前屈を測定した結果, クラス全体の平均は52cmで, 男子の平均は47.5cm, 女子の平均 は57cmだった。 このクラスの男子と女子の人数をそれぞれ求めなさい。 合ってカボチャを買うことにした。10個買うには集合した 200円足りない。そ (2)30人のクラスで体重測定をした結果、 男子の平均は44kg, 女子の平均は39kg で, クラス全体の平均は4 だった。このクラスの男子と女子の人数をそれぞれ求めなさい。

次の問題の(3)の青い線から青い線にかけてが何を言っているのか分からないのですがどなたか解説お願いします🙇‍♂️

24 必要条件・十分条件 (1) 2=4 を解くと, x=±2 次 よって, 右図より,十分条件 -2 十分条件, 必要十分条件のうち, 最も適 に、必要条件, (2) |-1|<2√3 より 1-2√3 <p <1+2√3 ||<1より, -1<p<1 分条件」 と答えよ. 下の数直線より、 必要条件 当であるものを入れよ。 ただし, 必要十分条件のときは 「必要十 (1) x=-2 は x2 =4 であるための ]である. (2) |-1|<2√3 は p<1 であるためのである. |p|<1であるための口 (3) 整数 m, nについて, 4m+nが3の倍数であることはm+n が3の倍数であるための である. (4)∠A=90°は, △ABC が直角三角形であるための[ 」である. (5) 「zy≠6」 は 「ェキ2 または y=3」 であるため である。 精講 必要条件, 十分条件, 必要十分条件の判断方法は2つあります。 I. (命題の真偽を利用する方法) ( 真, ×: 偽を表す) のときはgであるための必要条件 1-2√3 -1 1 1+2√3 p (3) 4m+n=3m+(m+n) において 3m は3の倍数だから 4m+nが3の倍数ならばm+nも3の倍数で m+nが3の倍数ならば4m+nも3の倍数 よって、 必要十分条件 (4) △ABC が直角三角形のとき, ∠A, ∠B, ∠Cのどれか1つが90° だから ∠A=90°△ABC が直角三角形. よって, 十分条件 (5) r=2 かつμ=3ry= 6 Q のときは であるための十分条件 対偶と元の命題は真偽が一致するので xy≠6x≠2 または yキ3. よって,十分条件 × 命題の真

次の(3)の青い線のところで何故4の倍数となるのでしょうか？解説お願いします🙇‍♂️

前題の対側は りば (1) 命題: x≧1 かつ y≧1 ならば, x+y≧2 について 裏対側を述べ, その真偽を調べよ. (2) 命題キェならばェキ1 が正しいことを対偶を用いて証 明せよ。 (3) 「2が無理数であることを背理法を用いて示せ. よって, 与えられた命題 「エキェならばェキ1」 は真. 注 対偶を用いて証明する場合は, たいてい 「キ」, 「また ••••••に対して」 という表現が含まれています。 くまず、 (3) √2 が有理数と仮定すると. 2つの自然数m, n を用いて, √2 2=- と表せる. n m 精講 (1) (2) ある命題が正しいことを真 (true), 間違っていることを偽 (false) といいます. また, 次表のような関係にある命題を, それ ぞれ、 元の命題の逆・裏・対偶といいます(→は「ならば」を意 味します). 逆 有理数の定義 g→p 裏 対偶 裏 (ただし, m n は互いに素) 両辺を平方すると 最大の 左辺は偶数だからも偶数。 すなわち, nも偶数。 このときは4の倍数だから,2m² も4の倍数. よって, m² は偶数となり, mも偶数. ゆえに, m とnは共通の約数2をもつことになり、 2つの整数 min(nto)を用いて 分数の形で表される数 mとnが互いに素であることに矛盾する. よって, 2 は有理数ではない。 すなわち,2は無理数

アポロニウスの円がどういうものなのか調べてみてもよくわからないので教えてください。参考書とかで定義を見るとm:nが定数になっていないなら全ての円がアポロニウスの円になってしまわないですか？

(2)の問題のやり方を教えて欲しいです。 対偶を書くところまでは出来たのですが、その続きのやり方が分からないです💦

PRACTICE 432 文字はすべて実数とする。 次の命題を,対偶を利用して証明せよ。 (1) x+y>a ならば 「x>a-6 または y>b」 (2)xについての方程式 ax+b= 0 がただ1つの解をもつならば α≠0

例題43の（2）の問題で、｜a+b｜≦1,｜a-b｜≦3から　（a+b）²+（a-b）²≦1²,（a-b）²≦3²のところで、なぜ二乗をしなければいけないのかわかりません。教えてください🙇‍♀️

基本 例題 43 対偶を利用した命題の証明 文字はすべて実数とする。 対偶を考えて,次の命題を証明せよ。 (1)x+y=2 ならば「x≦1 または y≦1」 (2)'+b2≧6 ならば「a+6|>1 または |a-b|>3」 CHART & SOLUTION 対偶の利用 nom 命題の真偽とその対偶の真偽は一致することを利用 00000 p.76 基本事項 6 (1)x+y=2 を満たすx, y の組 (x, y) は無数にあるから,直接証明することは困難であ る。そこで,対偶が真であることを証明し,もとの命題も真である,と証明する。 条件 「x≦1 または y≦1」 の否定は 「x>1 かつy>1」 (2)対偶が真であることの証明には,次のことを利用するとよい。 解答 A≧0, B≧0 のとき A≦B ならば A'≦B2 (p.118 INFORMATION 参照。) (1) 与えられた命題の対偶は 「x>1 かつ y>1」 ならば x+y=2 これを証明する。 x>1, y>1 から x+y>1+1 すなわち x+y>2 よって, x+y=2 であるから, 対偶は真である。 したがって,もとの命題も真である。 (2)与えられた命題の対偶は 「la +6≦1 かつ a-b≦3」 ならば2+62<6 ←pg の対偶は q⇒ p ←x>ay> b ならば x+y>a+b (p.54 不等式の性質) 2章 6 これを証明する。 |a+6|≦1, |a-b≦3から (a+b)2≦12, (a-b)2≦32 ←|A|=A2 よって (a+b)2+(a-b)≦1+9 ゆえに 2a2+62)≦10 よって a2+62≦5 ゆえに、対偶は真である。 したがって,もとの命題も真である。 a+b25と5<6 から a2+62-6 POINT 条件の否定条件, gの否定を,それぞれ,g で表す。 かかつ または または かつ PNQ=PUQ PUQ=PnQ 論理と集合

チャート数Aの例題1の（ 1）なんですけど、A=｛1,3,5,6,7｝なのに、n（A）=5になるのですか？個数って聞かれてないのになぜ5になるのかわかりません。

基本例題 1 集合の要素の個数の計算 0000 (1) 全体集合を U = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} とする。 Uの部分集合| A={1, 3, 5, 6, 7}, B ={2,3,6,7} について, n(A), n(B), (AUB), n (A) を求めよ。 (2)集合A,Bが全体集合 Uの部分集合でn(U)=50, n(A)=30, n(B)=15, n(A∩B)=10 であるとき,次の集合の要素の個数を求めよ。 (イ) A∩B (ア) A (ウ) AUB (C) (エ) ANB p.264 基本事項 1 265 1章 1 CHART & SOLUTION 集合の要素の個数の問題 図をかいて 1 順に求める ② 方程式を作る 集合の要素の個数, 場合の数 (2)①の方針により, 求めやすいものから順に,個数定理を用いて集合の要素の個数を求め る。 (ア)n(A)=n(U) -n (A) を利用する。 (ウ)n(AUB)=n(A)+n(B)-n(A∩B) を利用する。 ②は基本例題 3を参照。 解答 (1)n(A)=5,n(B)=4 AUB ={1, 2, 3, 5, 6, 7} である から n(AUB)=6 A={2, 4} であるから (2) (ア)n(A)=n(U)-n(A) =50-30=20 (個) 1 <36 金 左の図のような, 集合の B 関係を表す図をベン図 という。 2 7 n(A)=2 4 -U(50) A(30) B(15) ANB (10) (イ)n(A∩B)=n(U)-n(A∩B) 850-10=40 (個) (ウ)(AUB)=n(A)+n(B) -n (A∩B) =30+15-10=35 (個) (エ) n (A∩B)=n (AUB) =n(U) -n (AUB) 50-35=15(個) ← 補集合の要素の個数。 ←個数定理を利用。 ◆ド・モルガンの法則 A∩B=AUB (ウ)の結果を利用。

この問題で剰余で分類する利点はなんですか？教えてください。

[ 332/ 第9章 整数の性質 練習問題 5 aを整数とする. (1) n2+nは2の倍数であることを示せ. (2)2-2は3の倍数でないことを示せ. (3)2 +62が3の倍数ならば, α, 6はともに3の倍数であることを示せ 精講 整数についての命題を証明するときに、剰余で分類することが有効 なときがあります.(1)ではnを2で割った余り(つまり偶数と奇数) に,(2)ではnを3で割った余りに注目して場合分けしてみましょう (3) は直接 証明することが難しいので, 「対偶」 (p259 参照) に注目してみましょう. 解答 (1) N=n2+n とおく.nを 「2で割った余り」で分類すると n=2k または n=2k+1 である (h は整数). (ア) n=2k のとき, N=(2k)2+2k=4k²+2k=2(2k2+k) 2k2+k は整数なので,Nは2の倍数である. (イ) n=2k+1 のとき, N=(2k+1)+(2k+1)=4k²+6k+2=2(2k²+3k+1) 2k2+3k+1 は整数なので,Nは2の倍数である. (ア)(イ)より,すべての整数nでNは2の倍数であることが示せた. コメント 無数にある整数に対する命題が、たった数個の場合を調べるだけで証明でき てしまえるというのが,剰余で分類する手法の強力なところです. (2)M=n2-2 とおく. nを 「3で割った余り」で分類すると n=3k または n=3k+1 または n=3k+2 である (kは整数). (ア) n=3k のとき, M=(3k)-2=9k2-2=3(3k²-1)+1 3k²-1 は整数なので,Mは3で割って1余る数である. (イ)n=3k+1 のとき,