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2次関数のグラフと座標軸との共有点
CO
練習問題
を定数とする。2次関数 y=x"+(2a +2)x+ 2q° +6aー4…D について考える。
アイ
1) 関数ののグラフとy軸との共有点Pのy座標をpとする。かは a=
ウ
|エオカ
のとき最小値
|キ
2)関数ののグラフは,点Q(口ク 」a-ケ] +コ]aー サ])を頂点とする放物線である。
をとる。
開激ののグラフが×軸と異なる2点A, B で交わっているとき,定数aの値のとり得る範囲は「シス<a<セ]で
ある。
このとき,AB = 2,
ソ -[ タ
チ]であるから,AB は a=ツテ]のとき最大値ト]をとる。
また,AABQ が正三角形となるとき,AB の中点を Mとすると,MQ =
ナ
AB が成り立つことを利用すると,
ニ
|ヌネ]土 ノである。
解答
(1) 関数ののグラフとッ軸との共有点Pの 座標かは
放物線y= ax" +bx+c とy
:2(a+3- 17 6-)18 軸の共有点のy座標はcであ
)点
p= 2q° + 6a-4=
2
る。
よって,pは a= --
17
のとき最小値 -号をとる。
pはaの2次関数であるから,
2
(2) y= x°+2(a+1)x+2«°+6a-4
30I> 平方完成して最小値を求める。
= (x+a+1)?-(a+1)*+ 2a° + 6a-4
= (x+a+1)?+a°+ 4a-5
よって,関数ののグラフは,点Q(-a-1, α'+4a-5) を頂点とす
る下に凸の放物線である。
このグラフがx軸と異なる2点で交わるとき,頂点Qのッ座標は負×の2次方程式
の値をとるから, d'+4a-5<0より
ゆえに,aの値のとり得る範囲は
このとき,関数①のグラフとx軸との共有点 A, Bのx座標は,2次
方程式 x+2(a+1)x+2«°+6a-4=0 の実数解であるから,解の
公式により
x= -(a+1)土v(a+1)°-(2a° + 6a-4)
の区間
01+d-n= e+-
頂点の座標を求めるために,平
方完成する。
Key1
(a+5)(a-1)<0
-5<a<1
+2a + 6a-4= 0
81+ -
Key 2
が異なる2つの実数解をもつ
から,この方程式の判別式をD
とし、D>0 からaの値の範
O8
き 囲を求めてもよい。
= -(a+1)±--4a+5
M-
よって
AB = {-(a+1) +--4a+5}-{-(a+1) 4a+5}
= 2--4a+5 = 2-(a+2)+9
したがって, ABはa=-2 のとき,最大値 29 =6 をとる。
AOM
3
また,△ABQ が正三角形のとき,MQ =
-AB が成り立つから
2
2
Q
V3
×2-a-4a+5
2
ー(+ 4a-5) =
Qのy座標+4a-5は負の
値であるから
MQ= -(a°+ 4aー5) である。
A= --4a+5 とおくと
A° = 3A
A= 3A
両辺を2乗して
-5<a<1 の範囲で A>0 であるから
-d- 4a+5=3 を解いて
これらはともに-5<a<1 を満たすから
A=3
a=-2±(60
a= -2±/6
さ
の略のカギ」
Key 1グラフとx軸の共有点の個数は、判別式Dまたは頂点の」座標の正負を調べよ> 6)0.17)
Key 2グラフとx軸の共有点のx座標は,y=0として方程式を解け 量の
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2次関数
