波全部はなぜこのようになるのですか？

17 ド・モアブルの定理(ⅡI) > 1+8=1$ (1) Enlar UE 200) S (1) 2+px+q=0 (p,g:実数)が虚数解をもつとき, その1つをαと する. |a| を求めよ. DALORE! 4 (2) z+1=2 をみたす複素数zについて, |z| を求め,zを極形式で表 2 せ.ただし,0°≦argz≦180° とする. (3) (2)の²について, 2” が実数となる最小の自然数nを求めよ.

解答と違う解き方で解いてみたのですが、符号が合わないので教えてほしいです…🙇‍♀️

= 2 los -1² A ( (OS SR - A Sing√R) { ? = BARD ← 問題 5 (27 (? ={√₂L = 2 √2 ( 105 & π+ ₁ Sin ² π) ( los E TET-Àçin Er) - π (0'5 = 27 ) + ( sin ( -5 ) cos 3 + (√2 ) ? x) 8√2 x (05 (-ER) + i sin ( - ZR) ( = = 8√2 x ( (os Bπ - isina) √√3 = 8√2x ( - √/2²/² + 1/ ₁ ) T 4√6 + 4√ZN 4√6-4√21

複素数の問題です （1）について、どうしてk＝0、1、２だとわかるんですか？ 教えて下さい🙇🏻

練習 極形式を用いて,次の方程式を解け。 @15 (1) 2³=1 (1) 解をz=r (cos0+ising) また ...... (2) 2°=1 ① [r>0] とすると ²=r3 (cos30+isin30) 1=cos0+isin 0 ←ド・モアブルの定理。

数3の複素数の問題です！ 解説の（2）の4行目について、wの範囲は確かにy軸方向に見たらi～3iだと思うんですけど、X軸方向－1〜1じゃないですか？どうして解答はＹ軸方向にみてるのですか？ どなたか教えて下さい🙇🏻

重要 例題 27 不等式を満たす点の存在範囲 (1) 複素数zが|z|≦1を満たすとする。 w=z+2i で表される複素数 (1) 点の存在範囲を複素数平面上に図示せよ。 (2) w²の絶対値をr, 偏角を0とするときと0の値の範囲をそれぞれ求めよ。 ただし、0≦0<2π とする｡ 基本 21,23 指針 (1) w=z+2iからz=w2iとして、これを|z|≦1に代入。下の検討も参照。 (2) w=R(cosa+isine) [R>0] として, ド・モアブルの定理を利用。 解答 (1) w=z+2i から z=w-2i これを|z|≦1に代入して |w-2il≦1 ゆえに、点びの全体は, 点2i を中心と する半径1の円の周および内部である。 よって, 点びの存在範囲は右図の斜 線部分。 ただし, 境界線を含む。 (2) w=R(cosa+isina) [R> 0] とする と よって, 条件から (1) の図から li≤w|≤|3i| したがって 1≤r≤9 また、 右図において OA=2, AB=1,∠ABO= ] よって はRで,0はαで表すことができるから, (1) で図示した図形をもとにして、まず R, α のとりうる値の範囲を調べる。 ......... ゆえに ∠AOB= w²=R²(cosa+isina)²=R²(cos2a+isin2a) r=R2, 8=2α π 6 π ゆえに Asus 01/23 Mam 3 2/21 1 0≤ T O 1² ≤R² ≤3² T 2 00000 について 九 6 同様にして ∠AOC= よって 12/12/01/23 swast これは 0≦0<2ｶ を満たす。 P(w), A (2i) とすると, |w-2i 1 を満たす点w は,点Aからの距離が1 以下の点, という意味をも つ。 (1) の図から, w の絶対値|w| は, w=3iのとき最大, w=i のとき最小となる。 |w|=R C B 左 13/ 316 -1 Q 1 55 13 4 福 3 H 飛

この問題はド・モアブルの定理は使わずに（（4）は一部使えるけど）ごり押しでないとできないのでしょうか？ また、そもそも極形式に表せないとド・モアブルは使えないという認識でいいんでしょうか？

₂ (r+ ² ) ), (Y + 1) (+) $ (r²5-1) (8)

線が引いてあるところの、変形の仕方がわかりません。 教えてください🙏お願いします🙇‍♀️

6 (1) ド･モアブルの定理から よって 27=cos2π+isin 2n=11)= -21-29-2-2 2+2²+2³+2ª+2³+26 = ²(1− 2°) ={-1=-1 1-²

複素数の計算です。この赤の矢印のとこの計算がよくわかりませんでした。誰か解説お願いします。

(b) a'® + Aª™ |±a, ß©****0¯ (a. B)=(cos(-) + isin (-), cos+ i sin はα, β の対称式なので( ド モアブルの定理より . 100 100 *+/= (cos(-) + isin (-)) + (cos+isin)" = cos +cos = cos = 2 cos 100% 3 --1 +isin 100% 3 100% 3 100 x+16-2x)+isin (x+16-2x} = cos(-7)+ ¡sin (7) + cos(x) + ¡sin (17) (+)-(+)+ (*) (*) -isin cos +isin +cos- +isin 47-16-2x) + i sin(-x-16-2x) ₁ 100% 3 としてよい。 3

数Ⅲ 複素数平面の問題です。 なぜ題意よりz≠1になるのですか？ またz≠1にする理由はなんですか？？

復習問題2 ド・モアブルの定理を用いて, 1+cos0+cos20+..+cosno= COS no 2 sin -2² (n+1)0 2 sin- 1/ 0 2

26(1)ではθの範囲を設定しているのに対し27(1)では定めていないのはなぜですか？

54 重要 例題26 4 2 点zが原点を中心とする半径rの円上を動き, 点wがw=z+-を満たす。 a² の表す図形 (1) 2 (1) r=2のとき,点wはどのような図形を描くか。 (2) w=x+yi (x, y は実数) とおく。 r =1のとき, 点wが描く図形の式をx、 を用いて表せ。 w=2+- 指針▷ と が同時に出てくる式には, 極形式z=r (cos0+isin() を利用するとよい。 2 1 =1 (coso-isine) により、式が処理しやすくなることがある。 r 去して, x,yの関係式を導く。 それには sin'0+cos20=1 を利用。 ILO 4 |= 2 (2) zを極形式で表すことにより, x,yは0を用いて表されるので, つなぎの文字0を消 JELUTO 解答 z=r(cos0+isine) (x>0,0≦0 <2π) とすると 4 w=zt- [] =r(cos 0+isin0)+(cos 0-isin 0) 円 重要 25 日本基 4 =(x+1) coso+ (r-121) sine (1) r=2のとき.①から w=4cos専平さ 0≦0<2πでは-1≦cos0≦1であるから -4≤w≤4 したがって,点は2点-4, 4を結ぶ線分を描く。 n z=0 1 <= = 2²²1²222² 2 ={cos(-6)+isin(-0)} 虚部がなくなるのでこの とき は実数である。 参考 (2) 点wが描く図形

(2)の四角で囲んだゆえにからのところがなぜそう出来るのかが分からないので教えてほしいです！

となるも 日本 14,16 =rを極形 次不定方 理 0 [a+B) excが るの t 重要 例題 19 1+z x(1) 1-² (2) 方程式(z+1)+(z-1)'=0 を解け。 解答 1+z 1-² 指針 (1) まず, 与えられた式をzについて解く。 倍角 半角の公式を利用。 (2) ここで 練習 ©19 (4) ゆえに =cos Otisino が成り立つとき, z=itan 形できるから、 &T 2= したがって =cos Otisino をzについて解くと (cos 0-1)+isin O (cos0+1)+isin O 1のn乗根の利用 (1), (2) の問題 (1) は (2) のヒント (z+1)' + (z-1)'=0は(1+2)=1 =1と変 1+z 1-² は1の7乗根として求められる。 ......... ! (cos0-1)+isin0=-2sine+i・2sin cos- 0 0 201- F3 x$>020 2 (cos- (大) (cos0+1)+isin0=2cos²- 0 0 $²2+i-2 sin cos 2 0 $305.3+3 =2cos (cos+isin) 2 2= AGON 1-² =2isin 0 2 (2)(z+1)+(z-1)'=0から (1+z)=(1-z) (88- z=1は解ではないから (1+2)'=1 実 (k=0, 1, 0 isin- COS 0 =itan mama 1+z2kπ J. 2kπ =COS +isin 7 0 2 kπ よって,(1) から 7 tan(z-9) = -tan0であるから 7 z=itan- (k=0,1, 6) と表されることを示せ。 z=0, ±itan7, ±itan 2, ±itan 2 π 3 7, 7 6) 1 0000 1+z 1-z よって w≠-1から 0 2 sin². ◄ -=wとおくと 0 COS2 == 2 P100 基本 15 1+z=w(1-z) (+1)z=w-1 1+z 1-z 2= 1-cos0 2 0 0 in0=2 sin cos 2 1 = 22 にも注意。 5 1+cos 0 2 w-1 w+1 キー1から cos Otisin0キ-1 よってキ+2k ゆえに +/+kr 2 2 1の7乗根。 8 は整数) (1) の結果を利用。 7th, 2 7 ルー 6. =πー 201307" (5) (C) (1) を自然数とするとき, (1+z) 27, (1-z) 2" をそれぞれ展開せよ。 (2) nは自然数とする。 f(z)=2nC1z+27C32°++2nCzn-1221 ・π, π 7 39 22-1 とするとき, 1章 3 ド・モアブルの定理 kπ 方程式f(z)=0の解はz=±itan (k=0,1,...... n-1) と表されること 2n を示せ。