矢印の部分、恒等式だとなぜz-1≠0としなくていいのですか？ 教えてください🙇‍♀️

Focus 2-1= (z-1)(z-a)(z-a^) (z-²)(z-α^)(z-α) 103 とおける. 一方, 3 ド･モアブルの定理 ( 2-1= (z-1)(25+2+2+22+z+1)・・・ ③ である. ここで, ②,③より, (z-1) (z-α) (z-α²) (z-α°) (z-α^) (z-α) =(z-1)(z°+z^ +² +2' + z + 1) であるから, (z-α) (z-α²) (z-α3) (z-α^) (z-α5) =2+2+2+z' +2 +1 となる. これは, z についての恒等式であるから, z=1 を両辺に 代入すると, (1-a)(1-a²)(1−a³)(1—aª)(1−a³)=6 が成り立つ. 19 2π 2T a=cos +isin とすると,単位円周を等分する点は, n n 1, a, a², α-1 と表される 45 D 65 第 1 章 C

数Ⅲ 複素数平面 下の写真についてです。青マーカーのところの意味がわかりません。 問題文にて範囲指定がないため、私はkが出る青の前で答えだと思いました。なぜ勝手に範囲を定めて答えにするのでしょうか？ 基礎的ですみません、よろしくお願いします

基本例題 15 方程式 z"=1の解 極形式を用いて, 方程式2=1を解け。 指針> 次の手順で考えていくとよい。 ① 解をz=r (cos0+isin0) [r0] とする。 ② 方程式 z=1の左辺と右辺を極形式で表す。 3 両辺の絶対値と偏角を比較する。 ④ の絶対値と偏角 0の値を求める。 0は00 <2mの範囲にあるものを書き上げる。 CHART 複素数の累乗にはド・モアブルの定理 解答 解をz=r(coso+isin0) [r>0] とすると 2°=r* (cos60+isin60) 1=cos0+isin 0 >0であるから r=1 よって また ゆえに r(cos60+isin60) = cos0+isin 0 両辺の絶対値と偏角を比較すると r=1, 60=2km (kは整数) k z=cosmentisin/2π 20= cos0+isin0=1, ********* (cosO+isino)"=cosn0+isinn0 また 0= π の範囲で考えると k=0, 1, 2, 3, 4, 5 ① で k=l(l=0,1,2,3,45) としたときのzをとすると π 3 = COS cos 2012 isin - 12/23 + i, 2 z2=cos2/23nisin 1/30 = 1/23 + 11 1 2 3 ニー i, 2 したがって 求める解は 23= COSt+isinz=-1, 4 2.=cos x+isinx=-12-13 i 5 zs=cos/13x+isin/2/3= 5 1/2-11 i 2=±1, +1/+¹/3³; z= ± 土 2 p.29 基本事項 [2] 重要 17,19 i ド モアブルの定理。 1を極形式で表す。 x=1の両辺を極形式で表 した。 (検討 ②-1=0から (z+1)(z-1)(z^+z+1) ×(2²-z+1)=0 このように. 因数分解を利用 して解くこともできる。 なお,解を複素数平面上に図 示すると, 単位円に内接する 正六角形の頂点となっている。 また、Z=z」 が成り立つ。 → p.36, 37 の参考事項も参 ya 23

この問題の解説をお願いしたいです

ド･モアブルの定理を用いて、 次の方程式を解け。 (1) z¹=-16 (2) z³=8i

この問題の解の書き方ってこれでも大丈夫ですか？？

X = L H 4 -19 MI

波全部はなぜこのようになるのですか？

17 ド・モアブルの定理(ⅡI) > 1+8=1$ (1) Enlar UE 200) S (1) 2+px+q=0 (p,g:実数)が虚数解をもつとき, その1つをαと する. |a| を求めよ. DALORE! 4 (2) z+1=2 をみたす複素数zについて, |z| を求め,zを極形式で表 2 せ.ただし,0°≦argz≦180° とする. (3) (2)の²について, 2” が実数となる最小の自然数nを求めよ.

解答と違う解き方で解いてみたのですが、符号が合わないので教えてほしいです…🙇‍♀️

= 2 los -1² A ( (OS SR - A Sing√R) { ? = BARD ← 問題 5 (27 (? ={√₂L = 2 √2 ( 105 & π+ ₁ Sin ² π) ( los E TET-Àçin Er) - π (0'5 = 27 ) + ( sin ( -5 ) cos 3 + (√2 ) ? x) 8√2 x (05 (-ER) + i sin ( - ZR) ( = = 8√2 x ( (os Bπ - isina) √√3 = 8√2x ( - √/2²/² + 1/ ₁ ) T 4√6 + 4√ZN 4√6-4√21

複素数の問題です （1）について、どうしてk＝0、1、２だとわかるんですか？ 教えて下さい🙇🏻

練習 極形式を用いて,次の方程式を解け。 @15 (1) 2³=1 (1) 解をz=r (cos0+ising) また ...... (2) 2°=1 ① [r>0] とすると ²=r3 (cos30+isin30) 1=cos0+isin 0 ←ド・モアブルの定理。

数3の複素数の問題です！ 解説の（2）の4行目について、wの範囲は確かにy軸方向に見たらi～3iだと思うんですけど、X軸方向－1〜1じゃないですか？どうして解答はＹ軸方向にみてるのですか？ どなたか教えて下さい🙇🏻

重要 例題 27 不等式を満たす点の存在範囲 (1) 複素数zが|z|≦1を満たすとする。 w=z+2i で表される複素数 (1) 点の存在範囲を複素数平面上に図示せよ。 (2) w²の絶対値をr, 偏角を0とするときと0の値の範囲をそれぞれ求めよ。 ただし、0≦0<2π とする｡ 基本 21,23 指針 (1) w=z+2iからz=w2iとして、これを|z|≦1に代入。下の検討も参照。 (2) w=R(cosa+isine) [R>0] として, ド・モアブルの定理を利用。 解答 (1) w=z+2i から z=w-2i これを|z|≦1に代入して |w-2il≦1 ゆえに、点びの全体は, 点2i を中心と する半径1の円の周および内部である。 よって, 点びの存在範囲は右図の斜 線部分。 ただし, 境界線を含む。 (2) w=R(cosa+isina) [R> 0] とする と よって, 条件から (1) の図から li≤w|≤|3i| したがって 1≤r≤9 また、 右図において OA=2, AB=1,∠ABO= ] よって はRで,0はαで表すことができるから, (1) で図示した図形をもとにして、まず R, α のとりうる値の範囲を調べる。 ......... ゆえに ∠AOB= w²=R²(cosa+isina)²=R²(cos2a+isin2a) r=R2, 8=2α π 6 π ゆえに Asus 01/23 Mam 3 2/21 1 0≤ T O 1² ≤R² ≤3² T 2 00000 について 九 6 同様にして ∠AOC= よって 12/12/01/23 swast これは 0≦0<2ｶ を満たす。 P(w), A (2i) とすると, |w-2i 1 を満たす点w は,点Aからの距離が1 以下の点, という意味をも つ。 (1) の図から, w の絶対値|w| は, w=3iのとき最大, w=i のとき最小となる。 |w|=R C B 左 13/ 316 -1 Q 1 55 13 4 福 3 H 飛

数3の複素数に関する質問です！ （ア）の青線のところについて、偏角を比較したら2θ＝120°だと思うんですけど、どうして360°×nを足す必要があるんですか？

を解け､ (ア) 方程式 22=1+√3i 2 (東京電機大工, 東和大) (イ) 複素数の偏角を120°で考える 2-1+iをみたすぇのうちで、偏角が最小のものの産 部と実部の比の値は である. (日大理工) =a+bi の解き方 22=a+bi (a,b は実数) を解くには, z=x+yi(x, y は実数)とおいて を計算し、各成分を比較すればよいが、場合によってはもっと効率のよい解き方がある。それはa+bi を極形式で表すと、偏角が分かる場合で、次の場合と同様に処理するのがよい。 =a+bi(n≧3)の解き方 4 方程式 = αの解 左の形の方程式を解け。 という場合は,a+iを極形式で表すと, 偏 角が分かる場合と考えて構わないだろう.zをz=r (cos0+ isin0) と極形式で表して,ド･モアブルの 定理を使う、 なお,R>0, y'>0のとき, 次の に注意。 y' (cosf'+isin0')=R (cose+isina) ⇔r'=R かつ 0'=α+360°×k(kは整数) 解答 (ア) 右辺を極形式で表すと、 =1X (cos120°+ isin 120°) = (coso+isin) (x>0°≦8 <360°...... ②) とおくと, 22=r² (cos20+ isin20 ) これが①に等しいから, 大きさと偏角を比較して、 最小の0は0= ②に注意して,r=1,0=60° 240° よって、 z=cos60° + isin 60° cos240° + isin 240° ここで, cos20= sin 0 cos 6 -1+√3i 2 r2=1,20=120°+360°×(nは整数) 1 √3 2 (イ) 右辺を極形式で表すと, 1+i=√2 (cos135°+ isin 135°) z=r(cos0+isine) (x>0,0°≦ <360°...... ②) とおくと, 26=y6 (cos60+isin60 ) これが①に等しいから, 偏角を比較して, 60=135°+360°×n (nは整数) 135° 6 22.5°であり,zの虚部と実部の比の値は, 1+cos20 2 1-cos 20 1+cos20 -i, 1 √3 2 sin ²0= 1- 1+ 1-cos 20 2 1 √2 1 √√2 であるから, sino cos Q ①2=x+yi (x, yは て解くと一 2²=1²-y²+2zyi 実部と虚部を比較して, x²-y²=12, 2xy = 2 後者からをェで表して前者に 31 代入すると とおい 16x+8㎡²-3=0 (4x²-1) (4x²+3)=0 /13 ;; (I. y)=±(1/2). 12-1=(√2-1)^2=√2-10=22.5°により、 V v2 +1 2' 2 α: bの比の値はのこと sin 8 cos 0 >0

この問題はド・モアブルの定理は使わずに（（4）は一部使えるけど）ごり押しでないとできないのでしょうか？ また、そもそも極形式に表せないとド・モアブルは使えないという認識でいいんでしょうか？

₂ (r+ ² ) ), (Y + 1) (+) $ (r²5-1) (8)