167 球と直線
座標空間内に,球面 C:x2+y^+z2=1 と直線があり、直線
1は点A(a, 1, 1) を通り, =(1,1,1) に平行とする.また,
a≧1 とする.このとき、 次の問いに答えよ.
(1) 上の任意の点をXとするとき, 点Xの座標を媒介変数tを
用いて表せ.
(2) 原点Oから
Hの座
に下ろした垂線との交点をHとする.
標をαで表し, OH をαで表せ.
(3) 球面Cと直線が異なる2点P, Qで交わるようなaのとり
うる値の範囲を求めよ.
(4) (3) のとき,∠POQ=90° となるαの値を求めよ.
|精講
(1) A(No, yo, Zo) を通り, ベクトル=(p,q,r) に平行な直
線上の任意の点をXとすると,
OX = (xo,yo, Zo)+t(p,q,r)
と表せます.
(2) Hは上にあるので, (1) を利用すると, OH がα と
tで表せます. そのあと, OH・u=0 を利用して, t
をαで表します.
(3) 球面Cと直線が異なる2点で交わるとき
OH < 半径
が成りたちます.
(4) POQ90
OP･OQ=0 と考えてしまっては, タイヘンです。
それは,PとQの座標がわからないので, OP, OQを成分で表せないから
です。座標やベクトルの問題では, 幾何の性質を上手に使えると負担が軽く
なります。
解答
(1) OX=OA+tu=(a, 1, 1)+(t, t, t)
=(t+a, t+1, t+1)
U
X(t+a, t+1, t+1)
