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(x+αx (x≧2)
関数 f(x) =
がx=2で微分可能となるような定数α
α,
Bx²-ax (x <2)
β の値を求めよ。
(鳥取大)
f(a+h)-f(a)
« ReAction x=αにおける微分可能性は, lim
h→0
h
の存在を調べよ 例題 63
J
f(2+h)-f(2)
x=2で微分可能 lim
lim
h→+0
h
0114
f(2+h)-f(2)
h
が成り立つ。
候補を絞り込む
それぞれのf (2+h)には,f(x)=x+αx, f (x)=Bx-ax
のどちらを用いるか注意する。
思考プロセス
「x=2で微分可能」⇒「x=2で連続」 が成り立つ。
x=2で連続となる条件からαとβの関係式を求めることができる (必要条件)。
10
Action» x=αで微分可能ならば, x=αで連続かつf'(α) が存在するとせよ
関数 f(x) は x=2で微分可能であるから,x=2で連続微分可能ならば連続であ
limf(x)=f(2)
である。よって
ることから, 式をつくる。
x-2-01
ここで
x-2-01
x-2-0
f(2) = 2°+α.2 = 8+2a
limof(x) = lim (Bx2-ax)=4β-2a
よって, 4β-2α = 8+2α より B = a+2
・①
63
次に、f'(2) が存在するから
f(2+h)-f(2)
lim
=
h+0
lim
f(2+h)-f(2)
h--0
h
ここで
lim
-
h→+0
lim
h-+0
h
f(2+h)-f(2)
h
{(2+h)+α(2+h)}- (8+2a)
h
lim (12+6h+h+α)=12+α
h+0
また
lim
h110
lim
h110
lim
h110
f(2+h)-f(2)
{B(2+h)-α(2+h)}-(8+2a)
h
(a+2) (2+h)-α(2+h)-(8+2)
h
lim ((a+2)h+(3a +8)} = 3a +8
② ③より, 12+ α = 3α+8 となり
このとき, ①より
B = 4
...(3
α = 2
x≧2のとき
f(x)=x3+ax より
lim f(x) = f(2)
x2+0
等号が成立するとき
lim
f(2+h)-f(2)
が存在する。
x≧2のとき
f(x)=x+ax
x<2のとき
f(x) = βx-ax
① より β=α +2
