本例題105 an+i=pan+(n の1次式)型の漸化式
次の条件によって定められる数列 {an}の一般項を求めよ。
OOO00
a=3, an+1=2anーn
|基本 103, 104
HART O Sor
漸化式 an+1= pan+(nの1次式)(カキ1)
階差数列の利用 の
2 an+1-f(n+1)=Dp{an-f(n)} と変形
2の変形については右ページのズーム UPを参照。
下の解答は回の方針による解法で,別解は2の方針による解法である。
lOLUTION
(解答
an+2=2an+1-(n+1),
an+1=2anーn
辺々引いて
! bn=an+1-an とおくと
an+2-Qn+1=2(an+1-an)-1
bn+1=26n-1
b=a2-a=(2-3-1)-3=2
bn+1-1=2(bn-1)
の
また
のから
-a=2α-1 を解くと
更に
bi-1=1
α=1
ゆえに,数列(bn-1} は初項1,公比2の等比数列となり
bn-1=1·2"-1
inf. bn=2"-1+1 を求め
た後は
すなわち
bn=2"-1+1
よって, n22 のとき
「an+1=2a,-n
lan+i-@n=2"-!+1
からan+1 を消去して
2"-1-1+(n-1)
n-1
an=a+2(2*-1+1)=3+
k=1
2-1
=27-1+n+1
an=2"-1+n+1
と求めてもよい。
*n=1 とすると
a=3 であるから,この式は =1 のときにも成り立つ。
したがって
an=2"-1+n+1
別解 an+1=2an-n を変形すると
1
an+1-(n+2)=2{an-(n+1)}
a-(1+1)=3-2=1
ゆえに, 数列 (anー (n+1)}は, 初項1,公比2の等比数列と
an-(n+1)=1·2"-1
*この変形についてはあ
ページのズーム UPt
参照。
また
なり
したがって aカ=2"-1+n+1
0
