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基本 例題
85 2次関数の係数決定 [最大値・最小値] (1)
0000
○ (1) 関数 y=-2x2+8x+k (1≦x≦4) の最大値が4であるように,定数kの
を定めよ。 また、このとき最小値を求めよ。
△(2) 関数 y=x-2ax+α-2a (0≦x≦2) の最小値が11になるような正の定
a の値を求めよ。
のよ
基本 80, 82
指針 関数を基本形y=a(x-b)'+αに直し, グラフをもとに最大値や最小値を求め、
(1) (最大値)=4 (2) (最小値)=11 とおいた方程式を解く。
(2) では, 軸x=α (a>0) が区間0≦x≦2の内か外かで場合分けして考える。
CHART
2次関数の最大・最小 グラフの頂点と端をチェック
(1) y=-2x2+8x+kを変形すると
y=-2(x-2)2+k+8
S+AS++
最大
k+8+8+
■区間の中央の値は
S
あるから,軸x=2
重
定
と
解答
よって, 1≦x≦4においては,
4
間 1≦x≦4で中央より
右の図から, x=2で最大値+8
012
x
左にある。
をとる。
最小
ゆえに
k+8=4
最大値を4とおいて、
んの方程式を解く。
よって k=-4
このとき, x=4 で最小値 4 をとる。
(2) y=x2-2ax+α2-2a を変形すると
y=(x−a)²−2a
[1] 0<a≦2 のとき,x=αで
最小値 2αをとる。
[1] y
軸
地
■ 「αは正」に注意。
0 <a≦2 のとき,
軸x=αは区間の内。
11
0
la
2α=11 とすると a=-
2
0
2
x
→頂点x=αで最小
これは 0<a≦2を満たさない。
[2] 2 <αのとき, x=2で
最小値 22-2a・2+α²-2a,
つまり²-6a+4 をとる。
α2-6a+4=11 とすると
a²-6a-7=0
の確認を忘れずに。
-2a
-最小
[2] a2-6a+4
最小
a
これを解くと a=-1,7
0 2
x
|軸
2 <αを満たすものは
a=7.
2<αのとき,
軸x=αは区間の右外。
→区間の右端 x=2で
(a+1)(a-7)=0
HIPS
の確認を忘れずに
以上から、 求めるαの値は α=7
-2a
