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余りによる整数の分類の利用
発展例題98 O
基礎例題 91
nを整数とするとき, 次のことを証明せよ。
(1) n°+5n+1を2で割った余りは1である。
(2) n(n+1)(5n+1) は3の倍数である。
UP
何で割-
すべての場
CHARI
Q GUIDE)
例えば、
2で
整数の分類
3で
すべての整数は,整数々を用いて
2k, 2k+1 ;3k, 3k+1, 3k+2
などの形で表される
のように
この去
OS
例えば、
(1) 2で割るから, すべての整数nを2k, 2k+1(kは整数)に分類。
ること
数)に分類。
3でき
日解答田
例題9
で分類
(1) 整数nは整数えを用いて 2k, 2k+1 のいずれかの形に表さ
れる。
の形
[1] n=2k のとき
+5n+1=(2k)?+5-2k+1=2(2k°+5k)+1 奇さ
[2] n=2k+1 のとき
n°+5n+1=(2k+1)°+5(2k+1)+1
であ
-2×(整数)+r
(0Sr<2)の形に、
問
=4k°+14k+7=2(2k°+7k+3)+1
例え
[1], [2] から, n'+5n+1 を2で割った余りは1である。
(2) 整数nは整数んを用いて 3k,3k+1, 3k+2 のいずれかの
形に表される。
[1] n=3k のとき
S+
示
n(n+1)(5n+1)=3k(3k+1)(15k+1)=3·k(3k+1)(15k+1)
[2] n=3k+1 のとき
n(n+1)(5n+1)=(3k+1)(3k+2) (15k+5+1)
が3の倍数。
=3-(3k+1)(3k+2) (5k+2)
[3] n=3k+2 のとき
n(n+1)(5n+1)=(3k+2)(3k+2+1)(15k+10+1)
が3の倍数。
=3·(3k+2)(k+1) (15k+11)
[1]~[3] から, n(n+1)(5n+1) は3の倍数である。
よ
が3の倍数。
EY 91° nを整粉とナ
し問R