基礎問
242 第9章 整数の性質
145 整数の余りによる分類
a+b2=c2 をみたす自然数a, b, c について, 次の問いに答えよ.
(1)/ 自然数a, b, cのうち,少なくとも1つは偶数であることを
示せ.
(2) 自然数a,b,c のうち,少なくとも1つは3の倍数であるこ
とを示せ.
(1) (a, b, c) の組をそれぞれが偶数か奇数かで分けると
2×2×2=8 (通り) ありますが,問題では,そのうちの 「 a,b,c
はすべて奇数」は起こらないことを示してほしいといっています。
このようなとき、背理法 (24) が有効です。そのまま考えると示さなけれ
ばならないこと (結論)は7つの場合ですが,否定すれば1つの場合しかな
いからです.これは, 確率の余事象の考え方と同じです。
(2)原則的には(1)と同じですが 「少なくとも1つは3の倍数」を否定すると,
「すべて3の倍数でない」 となり,3の倍数でないことを式で表現する部分
が (1)より難しくなります。
3でわった余りが0, 12 (144) の3つなので3n, 3n+1, 3n+2と3
つに分けて考えますが,ここでは,必要なものが2乗なので 「2余る=1足
らない」と考えて3n, 3n±1 とおいた方が計算がラクになります.
参
注
だか
りえ
3
3n
(3
3で
考
すると,
場合を
たと
4n
と表せ
演習
解答
(1) a, b, c がすべて奇数とすると,
d', b', c2 もすべて奇数だから,'+62は偶数(奇数)²=奇数
これは,d'+b2=c2 であることに矛盾する.
以上のことより, a, b, c がすべて奇数ということはない.
すなわち, a, b, c のうち少なくとも1つは偶数である.
(2) a, b, c がすべて3の倍数でないとすると,
すべて3n±1 の形で表せる.
(3n±1)2=9m²±6n+1
=3(3m²±2n) +1
演習問
