248
△ (1)<<π,sin0=
3
(2)t=tan
2
基本 例題 154 2倍角、半角の公式
5
(t≠±1) のとき,次の等式が成り立つことを証明せよ。
2 のとき, cos20, sin 20, tan
の値を求めよ。
(1
sin0=
2t
1+12,
COS 0-1-12
2t
tan 0=
1+2,
1-t2
p.247 基本事項 1.2
指針 (1)2倍角、半角の公式を利用する。 またsin 20, tan
10 の値を求めるには, COSOの
値が必要になるから、かくれた条件 sin20+cos20=1 を利用して,この値も求め
ておく。
(2) 02/22 であるから、2倍角の公式を利用。 tan cose
sin0 の順に証明
する。 tanとcosが示されれば, sin0は sino=tanAcos
により示される。
(1) cos 20-1-2sin 0-1-2-(3)-1-18-25
7
解答
π
であるから
2
0は第2象限の角であ
るから cose<0
3 \2
cos0=-vl-sin20=
1
=-
4-5
sin26=2sinOcos6=2.2(-1/2)=-25
3
24
ゆえに
π
よりであるから
tan >O
2
e
1+
よって
tan
(2) tan 0=tan 2.
12
72
1-cos
5 +4
=
=3
1+cos
2 tan
0
2
1-tan²-
5-4
4-54-5
2t
=
(t±1)
V
1-t2
√5+4 = √9
検討
2
1+tan2.
12
1
から COS2-
2
sin-
COS2-
1+t2
12
0
• = S, COS-
1+tan²-
2
2
0
おくと tan t=
0
2
C
日
2
よって cos0=cOS 2•
2
=2 cos²- --1=
2
1-t2
-1=
1+t2
1+t2
ゆえに sind=tanocos0=
2t 1-t2 2t
これを証明する等式の
右辺に代入して
•
=
1-t1+t2 1+t2
s2+c2 =1などから,左
辺を導くこともできる。
練習
5
154
(1)0 <α<π, cosa= = 1/3の のとき,2a, 1 の正弦、余弦,正接の値を求めよ。