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基本例題 25
内心の位置ベクトル
00000
3点A(a),B(b),C(c)を頂点とする △ABCにおいて,AB=5, BC=6,
CA=3 である。また,∠Aの二等分線と辺BC の交点をDとする。
(1)点Dの位置ベクトルを」とするとき,をもこで表せ。
(2)△ABCの内心Iの位置ベクトルをするとき, i を a, b, c で表せ。
HART & SOLUTION
三角形の内心の位置ベクトル
角の二等分線と線分比の関係を利用
三角形の内心は3つの内角の二等分線の交点である。
(1) 右の図で ADAの二等分線であるから
BD: DC=ABAC
(2)Cの二等分線とADの交点が内心であるから
解答
AI:ID=CA:CD
(1) ADは∠Aの二等分線であるから
BD: DC=AB:AC=5:3
よって a=
36+57 35→
-b+-
5+3 8 8°
(2)△ABCの内心Iは線分AD 上
にあり, CIは∠Cを2等分する
AI:ID=CA:CD
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p.527 基本事項 1
角の二等分線と線分比。
線分ABをminに内
B
D
分する点P(D)は
から
3
(1)より,CD=-
BC= -x6=
であるから
5+3
8
4
b=na+mb
m+n
9
AI: ID=3: =4:3 よって3+4d_3u+d
4
4+3
→
(*57=3+4(6+)}=++
(1)から
INFORMATION 内心の位置ベクトル
14
7
5
←BD DC=5:3
inf∠Bの二等分線を考
C
14
えても、同様に解答できる。
A(a),B(b),C(c) を頂点とする △ABCにおいて, BC = 1, CA=m, AB=nであ
るとき,∠ABC の内心I(i)はi=la+mb+nc
l+m+n
証明は解答編 PRACTICE 25 の続きを参照。
とされる。
