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基本 例題 87 座標を利用した証明 (2)
000
△ABC の各辺の垂直二等分線は1点で交わることを証明せよ。
基本 74
139
指針 p.123 基本例題 74と同じように,計算がらくになる工夫をする。1000
2 対称に点をとる
座標の工夫 ① 座標に0を多く含む
この例題では、各辺の垂直二等分線の方程式を利用するから、 各辺の中点の座標に分 X
数が現れないように, A (2a,26),B(-2c,0), C(2c, 0) と設定する。
なお,本間は三角形の外心の存在の, 座標を利用した証明にあたる。
∠Aを最大角としても一般性を失
解答わない。このとき, ∠B<90°
∠C <90° である。
YA
A(2a, 2b)
直線 BC をx軸に、辺BCの垂直
二等分線をy軸にとり, △ABC
の頂点の座標を次のようにおく。
N
\M
K
B
C
注意 間違った座標設定
例えば, A(0, 6), B(c, 0),
C (-c, 0) では,△ABC
は二等辺三角形で, 特別な
三角形しか表さない。
座標を設定するときは,
3
章
13
-2c OL
2cx
A(2a, 2b), B(-2c, 0), C(2c, 0)
一般性を失わないように
しなければならない。
ただし a≥0, b>0, c>0
また,∠B<90° ∠C < 90° から, a≠c, aキーcである。
更に,辺BC, CA, ABの中点をそれぞれL,M,Nとす
ると,L(0,0),M(a+c, b), N(a-c, b) と表される。
辺 AB の垂直二等分線の傾きを とすると, 直線 AB の
b
b
atc
a+c
傾きは
=-1 より
証明に直線の方程式を使
用するから, (分母) = 0
とならないように,この
条件を記している。
=/
0-26
b
-2c-2a
a+c
直線の方程式、2直線の関係
であるから,mo
(
m=-
atc
b
よって,辺ABの垂直二等分線の方程式は
y-b=--b
a+c
(x-a+c)
点N (a-c, b)を通り,
傾き -
atc
の直線。
b
すなわち
y=-atc
a²+b²-c²
6x+
①
a-c
辺 AC の垂直二等分線の方程式は,①でcの代わりに
a+b2-2
辺 ACの垂直二等分線
-cとおいて
y=-b
x+
2直線 ①②の交点をKとすると,①②のy切片はと
a²+b²-c²
b
a-c
ACに垂直で,点
M(a+c, b) を通るから,
①でcの代わりに - c
は,傾き
の直線
もに
a²+b²-c² であるからK(0,
b
点Kは, y 軸すなわち辺BCの垂直二等分線上にあるから,
△ABC の各辺の垂直二等分線は1点で交わる。
とおくと,その方程式が
得られる。
練習 △ABCの3つの頂点から,それぞれの対辺またはその延長に下ろした垂線は1点
線が交わる点を 三角形の垂心という)。
