s-qr=0 のときは、
の2つの解をα, B
D
基本例
例題
48 和 S と漸化式
数列{anの初項から第n項までの和 Sn が,一般項anを用いて
|Sm=-2an-2n+5 と表されるとき, 一般項an を nで表せ。
0000
指針 αとSの関係式が与えられているから, まず一方だけで表すために
a=Si
n≧2 のとき a=S-S
[皇學館大 ]
基本 24,34
を利用する。ここでは,n2n=1の場合分けをしなくて済むように、漸化式
S=2a-2n+5でnの代わりに+1とおいてS+」を含む式を作り,辺々を引く
ことによってS" を消去する。 手順をまとめると
① α=S を利用し, α1 を求める。
② an+1=S+1-S” から, an, an+1 の漸化式を作る。
S+1=a1+a2+
・+an+an+1
-Sn=a1+a2+......+an
Sn+1-Sn=
an+1
3 an, an+1 の漸化式から,一般項αを求める。
487
1章
⑤種々の漸化式
a=1
Sn=-2an-2n+5
① とする。
① に n=1 を代入すると
解答
S=-2α-2+5
S=α であるから
よって
a=-2a1-2+5
αの方程式。
①から
Sn+1=-2an+1-2(n+1)+5 ..... ②
pa
①での代わりに
② ①から
Sn+1-Sn=-2(an+1-an)-2
n+1とおく。
1
ュー
Sn+1-Sn=an+1 であるから
an+1=-2(an+1-α) 2
an+1, an だけの式。
2
よって
an+1=
3
ゆえに
- a--
an+1+2=(ax+2)
3
2
an
<漸化式 an+1 = pantq
2
2
<特性方程式 α =
ここで
α+2=1+2=3
を解くと α=-2
参照 ),
2
数列{an+2} は初項 3,公比
の等比数列であるから
3
an+2-3-()"
したがって a=3 (12) -
2\n1
an=3·
-2
3
練習 数列{an} の初項から第n項までの和Sが, 一般項 αn を用いて Sn=2an+nと表
③ 48 されるとき, 一般項 αn を nで表せ。
[類 宮崎大]
p.497 EX 28
から
unti
Ja
3ht 3 ht
164
