ページ3:

(2)0≦x≦2において,x2の係数αが正の場合と負の場合に分けて考えてみ
ます。
i.a>0 のとき
○軸: x = 3
○下に凸の放物線
0≦x≦2の範囲でお絵かきしてみると
□ 最大値: f(0)=9a-1
□ 最小値: f(2)=a-1
よってP=(9a-1)-(a-1)=8a
ii. a < 0 のとき
○ 軸: x = 3
Max
0
Min
○上に凸の放物線
Max
0≦x≦2の範囲でお絵かきしてみると
□ 最大値: f(2)=a-1
□ 最小値: f(0)=9a-1
よってP=(a-1)-(9a-1)=-8a
「Min
i,iiより a>0のときP=8a, a < 0 のときP=-8a

ページ4:

(3) g(x)を平方完成して y = g(x)のグラフの頂点の座標と軸の方程式を求め
ます。
g(x) = (x2-4ax)-4a²+1
=-{(x²-4ax+4a²)-4a2}-4a²+1
=-(x-2a)^+4a²-4a² +1
=-(x-2a)2 +1
軸: x = 2a
頂点: (2a, 1)
最大値と最小値を同時に考える場合, 次の五通りに場合分けすると必ず
求められますよ。
軸がi. 定義域より左
ii. 定義域内で, 定義域の中央より左
道.定義域内で, 定義域の中央
iv. 定義域内で, 定義域の中央より右
V. 定義域より右

ページ5:

i.軸が定義域より左: 2a <0 すなわち a < 0 のとき
。★: M = g(0) = −4a² +1
-3
。 :m = g(2) = −4a² +8a-
(-4a² + 1)-(-4a² +8a − 3) = −8a
M-m=P)
この等式を満たすαは存在しない。
- 8a+ 4 = -8a
ii.軸が定義域内で中央より左: 0≦2a <1 すなわち 0
o: M = g(2a) = 1
o: m = g(2) = −4a² +8a-3
M-m=P)
1-(-4a² +8a-3)=8a (a > 0)
a²-4a+1=0
a=2±√√√3
a<=より a=2-√3
(a<0)
のとき

ページ6:

道.軸が定義域の中央: 2a=1 すなわち
=
のとき
○ 最小値 : m =
o 最大値: M = g (2a) = 1
= g(0) = g(2) = −4a² +1
M-m=Pより 1-(-4a2+1)=8a (∵a > 0)
これはa
|=
∴a(a-2)=0
∴a=0, 2
-に反するので不適。
iv.軸が定義域内で中央より右: 1 < 2a < 2 すなわち
o 最大値: M = g (2a) = 1
o 最小値: m = g(0) = g (2) = -4a² +1
これは道と同じだからa=0, 2であるが,
これらはともに-<a<1を満たさないから不適。
V.
軸が定義域より右:2 ≦ 2a すなわち 1≦a のとき
⇒ a<1を満たさないから考えない。
i〜vより a=2-√3 圏
< 1 のとき

ページ7:

【必答問題】
3
2次関数
f(x)=ax2-3ax + α² -3
がある。 ただし, aは0でない定数とする。
(1) y=f(x)のグラフの頂点の座標を求めよ。
(2) 3≦x≦4における f(x) の最小値が2となるようなαの値を求めよ。
(3)a>0とし,p を p<3を満たす定数とする。 p≦x≦ 3 における f(x)
の最大値を M,最小値を m とするとき, M-m=2a となるような p の値
を求めよ。
(配点 20)

ページ8:

③ 2次関数
(1) 与式を平方完成すると
f(x) = a(x²-3x) + a² - 3
-
3
2
-ax() 1)² + a² - 3
= a(x
3
9
= a(x- +a²
-
a-3
4
頂点(
3
2
'
a²
-
9
4
a-3)
(2) i) a<0 のとき, x=4で最小値をとるからf (4) =2が成り立つので
f(4) a 42-3a-4+ a²-3=2
a²+4a-5=0
(a+5)(a-1)=0
a <0より a=-5
334
-
2
ii) a>0 のとき,x=3で最小値をとるから f (3) =2が成り立つので
f(3) a 32-3a 3+ a²-3=2
.
a² = 5
Min
a = ±√5
a>0より a=√5
3-2
iiiより a=√5, -5
34
Min

ページ9:

(3)a>0 (下に凸の放物線)
3
区間の一端が変化する問題: 軸x=ニに着目する。
2
i)
3
i) ½ ½ ≤ p
≦p<3 <軸が定義域の外>
2
3
ii)
p<
<軸が定義域の中央より左>
2
iii) p<0
<軸が定義域の中央より右>
場合分け
2≦p<3のとき最大値M=f(3) = a' -3
○最小値m=f(p)=ap2-3ap+a2-3
a²
M-m=2aより (2-3)-(ap2-3ap + α2 - 3) = 2a
-ap2+3ap=2a
a≠0より
p2-3p+2=0
(p-1)(p-2)=0
条件より
p=2

ページ10:

3
ii) 0 ≤
のとき ○最大値M = f(3) = a² -3
2
○最小値m=f(22)=a2
a² - a-3
9
9
4
M-m=2a (a² −3) − (a² ·
-
--a-3)=2a
4
9
4
- a = 2a
a≠0よりこの条件を満たす pはない。
i) p<0のとき
OM = ƒ (p) = ap² − 3ap + a² – 3
3.
○最小値m=f(-)
-
9
= ƒ² = a² - 2a-3
4
-
9
M-m=2a ap² -3ap+-a=2a
4
a 0 4p² - 12p+1=0
3±2√2
p =
> 0
2
これらは条件を満たさないので不適。
i, ii, iii) p=2
より

ページ11:

【 必答問題 】
3 2 つの2次関数 f(x) =-x^2+ax-a-8, g(x)=2x2があり, f(x)
の最大値は0である。 ただし, a は負の定数とする。
(1) αの値を求めよ。
(2) を定数とする。 t-3≦x≦t+3 における f(x) の最大値をMとし,
t-3≦x≦+3 におけるg(x) の最小値を とする。M=m=0と
なるようなtの値の範囲を求めよ。
(3)tを定数とする。t-3≦x≦t+3 における f(x) の最小値をnとし,
t-3≦x≦t+3 におけるg(x) の最大値をNとする。 N-n=48と
なるようなtの値を求めよ。
(配点 20 )

ページ12:

f(x)=-x2+ax-a-8, g(x)=2x2, a<0
(1)平方完成して頂点の座標を求めると
f(x)=-(x²-ax)-a-8=-(x-
-(x-2)² + a²±²-a-
・-a-8
4
a
頂点:
a-8)
4
a²
最大値が 0, つまり頂点のy座標が0だから
--a-8=0
4
この2次方程式を解くと
a2-4a-32=0
(a-8)(a+4) = 0
a = -4
a<0より
(2)(1)より f(x)=-x2-4x-4=-(x + 2)2軸: x = -2
頂点:(-2,0)
g(x) = 2x2
軸: x = 0
頂点: (0, 0)
これらをお絵かきしてみる。
M=m=0となるには次の2つの条件を
満たせばよさげ。
[1] t-3≦-2
[2] 0≦t+3
t-3
[1]よりt≦1, [2]より-3≦t
2
t+3
すなわち-3≦t≦1

ページ13:

(3) t-3とt+3の真ん中の値と各頂点のx座標に注目し,
N
次の3通りで場合分け♪
(i)t<-2
(ii)-2≤t≤0
N
(iii) 0 <t
N
t-3
t-3
1+3
1+3
n
n
n
(i)t <-2 のとき,
x=t-3のとき最大値N=2(t-3)2, 最小値n=-(t-3 +2)2
N-n=48より2(t-3)-(-(t-1)^)=48
3t2-14t-29
t =
0
-(-14)±√(-14)² - 4×3×(−29)
14±√544
2x3
14±2136
7±√√136
6
3
これらはt<-2を満たさないので不適! セッカクモトメタノニ
(ii) −2≦t≦0 のとき,
x=t-3のとき最大値N=2(t-3)2,
x=t+3のとき最小値 n = -(t +3 + 2)2
N-n=48 より 2(t-3)-(-(t+5)^) = 48
3t² -2t-5=0
(3-5)(t+1)=0
−2≦t≦0より t = -1
(道) 0 < t のとき
x=t+3のとき最大値 N = 2(t+3)2
x=t+3のとき最小値n= -(t+3+ 2) 2
N-n=48 より 2(t+3)-(-(t+5)^) = 48
3t² +221-5=0
-22±√484+60
t =
6
-11±√136
3
-11+√136
-11+2√34
0<tより
t =
t = −1,
3
3