ページ3:

よってP(3,1)+P(3,2)+P(3.3)=1であり、これと(1)よりP(3,1)=
次に2人で1回ジャンケンをするとき、手の出し方は2人それぞれ
3通りずつあるから32=9通り
あいこになるとき
出す手は1種類、2人ともその手を出すから3C1x2C2=3通り
3
このとき 2人 2人なのでP(2.2) = =
9
P(3.n)と同様にP(2,1)+P(2,2)=1が成り立つからP(2,1)=
以上より (i)~(iii) の確率は、
(1) P(3.3) XP(3.3)xP(3.1)
= 27
2
(ii) P(3.3) XP(3.2)×P(2,1)=
(1)〜(iii) はいずれも
-27
排反なので
2
(iii) P(3.2)xP(2.2)×P(2,1)= 27
5
求める確率は
271
(3) Pn(A):ジャンケンがn回以下で終わる確率とし、この余事象の確率を
Pm(A): n回で勝負がつかない確率とする。
このときP(A)+Pm(A)=1Pm(A)=1-Pm(A)-①
n回で勝負がつかないのは以下の2つの場合である。
i) 3人でn回ジャンケンを続けてすべてあいこのとき、
ji) 回目(1≦R≦n)で2人勝ち残り、(n-k)回あいこが続くとき、
i)のとき {P(3.3)}=(1/2)m
ii) のとき (R-1)回目まで3人でのあいこ、友回目で2人勝ち抜け、
(n-1)回2人でのあいことなる確率
よって{P(3.3)}P(3.2){P/2.2)}カ-k-(/)=1+1
(1)k=1+1+72=x=(1/3)22
友=1.2.3...nのときを考えて(1/2)m
n
==
k-1
3n

ページ4:

Date
n+1
iii)は排反なのでPn(A)
=
よって①より P(A)
3-n-1
3n
3n
H

ページ5:

3・3 先生と3人の生徒 A, B, C がおり、 玉の入った
箱がある. 箱の中には最初, 赤玉3個, 白玉 7個, 全
部で10個の玉が入っている. 先生がサイコロをふっ
て 1の目が出たらAが, 2または3の目が出たらB
が、その他の目が出たらCが箱の中から1つだけ玉
を取り出す操作を行う。 取り出した玉は箱の中に戻さ
ず、取り出した生徒のものとする。 この操作を続けて
行うものとして以下の問いに答えよ。 ただし, サイコ
ロの1から6の目の出る確率は等しいものとし,また,
箱の中のそれぞれの玉の取り出される確率は等しいも
のとする.
// A
No.
Date
図1→C→
(1) 2回目の操作が終わったとき, Aが2個の赤玉
を手に入れている確率を求めよ.
①赤玉
(2) 2回目の操作が終わったとき, Bが少なくとも
1個の赤玉を手に入れている確率を求めよ.
(1)
(3) 3回目の操作で, C が赤玉を取り出す確率を求
(11 東北大・理系)
10×21
→A:x7
○→白玉
0
とする
A:1030
0x7
(1) A.B.Cが操作を行う確率はそれぞれ1/8.1/1/31/2
2回続けてAかのを取り出す確率なので(1/2)×(1-2)=540
(2)-
130
1回目
2回目
日田四国)
AorC が操作・・・(i-ア)
A,B,C:x7
→B: Ox6
(ii-ア)
→①
10×31
B:Ox7
10×21
B:Ox7
(i-1)
M×31
M×21
AorC:x7
→B:x7 (バーイ)
・2
B:
(主)
1)1回目のみBが1を取り出すとき
i-ア)2回目はAまたはCが操作するとき(13/3/7/28)×2/3
i-イ)2回目でBが○を取り出すとき
ii) 2回目のみBが⑩を取り出すとき
ii-ア)1回目に○が取り出されるとき
T
10
6 18
=
90 270
160 × ( 1/3 · 4) = 270
1回目は誰が操作してもよいから、1/16×(1/32)-2710
ガイ)1回目に⑩が取り出されるとき
1回目にBが1を取り出しては
いけないから、(3/7/27)×(37)=870
12 4
=
270
iii) 2回続けてBが⑩を取り出すとき 1/6×(1/3.7)
2
=
270
KOKUYO LOOSE-LEAF FK8365T 8m ruted 38 s

ページ6:

No.
Date
(i)~ (ii) はいずれも排反であるから求める確率は
(3)
18+7+21+4+2
26
270
13511
M×30
190×31⑩
→C: 10x5
... (i)
110×31
0x7
(ii)
1×2
0
10x61
(iii)
0
1×3
0x7
70
10×
:: 18 x 7 (m)
→C:
2回目までは誰が操作してもよいので取り出される玉のみを考えればよく、
3回目でCが操作し、残っている玉から⑩を取り出す確率を調べる。
i) 1回目→2回目のとき (1)よりCが操作する確率は1/7なので、
==
126
14:40
11×22×(1/2)=42
1440
x
10
9
ii) 1回目→2回目⑩のとき
7
3
3
iii) 1回目⑩→2回目のとき
×
10
iv) 1回目⑩→2回目⑩のとき
10
×
=
(i)~(iv) はいずれも排反であるから求める確率は
42
1440
6
1440
126+42+42+6
=
1440
3
20

ページ7:

3・4枚のカードを積んだ山があり, 各カードには上
から順番に1からnまで番号がつけられている.た
だし≧2 とする. このカードの山に対して次の試行
を繰り返す。 1回の試行では,一番上のカードを取り,
山の一番上にもどすか,あるいはいずれかのカードの
下に入れるという操作を行う. これられ通りの操作
はすべて同じ確率であるとする. n回の試行を終えた
とき、最初一番下にあったカード (番号) が山の一
一番上にきている確率を求めよ. (09 京大理系)
Date
は番号でのカード(1≦in.2≦n)
回試行を終えたとき、五の下にある
カードの枚数をXKとする(Xo=0)
hが山の一番上にあるとき、の下には1.2.
n-1の(n-1)枚のカードが
あるので求める確率はXn=n-1となる確率であり、これをPとする。
(A)
k
n
n Xm+1
K
Xm
=1+7m²
各試行は取り出したカードをnの下に入れるか
上(元の位置含む)に入れるかの2つに分類
できるので以下のように操作 A.Bを定める。
[m回後]
(B)
k
K
-7
Xm[
Xm+1
m
=xml
[(m+1)回後] 操作 A: 取り出したカードをの下に入れる
→の位置は1枚分上に上がる。
操作B:取り出したカードをMの上に入れる
→の位置はその場に留まる。
したがってXn=n-1となるにはn回の試行のうち、
S(n-1)回、五の位置が1枚分上がる
⇒
操作Aを(n-1)回行う。
ことが必要である。
1回、Mの位置がその場に留まる (操作Bを1回行う。
m回目(1≧m≦n)の試行で操作Bが行われるとする
取り出したカードの入れ方は、
取り出したカードを除く(n-1)枚の下で(n-1)通り
あるいは山の1番上に戻す1通りでこれらは排反なのでn通り
im=nのとき
(n-1)回目までずっと操作Aを行うので
123
n-T
(n-1)!
n
2回目の操作を行うときは山の1番上にあるので
取り出した国を入れる場所は山の一番上しかないため
(n-1)!1
したがって
(n-1)!
n
nn
ii) 1≤msn-1023
1回目から(m-1)回目は操作Aを行うので
123
m-1 (m-1)!
=
n
mm-

ページ8:

Date
Xm-1=m-1なのでm回目の操作をするときの上には(n-m) 枚の
よってm回目の操作で操作Bが起こる確率は n-m
n
カードがある。
(m+1)回目から1回目は操作Aを行い、Xm=m-1なのでその確率は
m M+1 M + 2 ...... n-T
nn
n
=
(n-1)!
(M-1)! nn-m
(n-1)!(n-m) =qmとおくと、
nh
n
以上より、 (M-1)! N-m
(n-1)!
nm n
(M-1) Inn-m
=
(1≤m≤n-1)
Eu, 2. 3.
an-1はいずれも排反な事象の確率であり、
iii)も互いに排反なので
n-1
Pm = (n-D! + (n-nim-m) = (n=1) { 1 + 2 (n/m)}
nn
+2
(n-1)!
m=1
nn
1-11 { 1+ non-1) = {/ non-1)} = (n=1)! (N² n=2)
nn
2nn
#

ページ9:

(i) 各試合において, 引き分けは無く、 必ず勝敗が
決まる.
2'3
し,A国がB国に勝つ確率は とする. 第1戦は日
本とA国が対戦する.
日本がA国,B国に勝つ確率をそれぞれ 1/12 1/3 と
3･5 サッカーの国際大会に日本, A国およびB国の3
ヶ国が参加し, 優勝国は次のように決定される.
(i) 3つの国のうち2つの国が試合をする. 勝った
国が残りの1つの国と試合をし、2連勝する国が生
じるまで試合を繰り返す. この連勝国を優勝国とし、
大会を終了する。
2
3
No
Date
日本が第3n+2戦(0≦)で
優勝するのは
第3n+1戦までに優勝する国がなく、
第3n+1,3n+2戦で日本が連勝するとき、
したがって、
第2戦で日本が優勝する確率はアであり,第3
戦で日本が優勝する確率は イ であり,第4戦で日
本が優勝する確率はウであり, 第5戦で日本が優
勝する確率はエである. ゆえに第3n+2戦 (n
は0以上の整数) で日本が優勝する確率は
日本がA国に勝つ
↓
↑
P=オとなる。このときlim=カとな
る. 一方, 第7戦で日本が優勝する確率はキとな
る。 第3+1戦 (nは1以上の整数) で日本が優勝
する確率はQ=クとなる.このとき
07014
B国が日本に勝つ
A国がB国に勝つ
↓
n回くり返す
(=3n戦)
日本がA国に勝つ
↓
日本がB国に勝つ
lim k=ケとなる. また第3戦 (nは1以上
の整数)で日本が優勝する確率はコとなる。
(13 同志社大・理系)
B国が日本に勝つ確率は1-1/2=1/3
ときがその場合である。
各試合で引き分けは起こらないので、
2
日本
3
したがってP=(1/2)/1/1/2=(1) 1/6(号)
n
(0≤n)
3
これより、Po=(P)/1/1 P1=(1) 2/7
また、肌の公比について くしより
1
n
3
limPKは収束し、その和は
6
= (カ)
1-2
14
H
n-00 k=0
9
日本が第3n+1戦 (1≦)で優勝するのはPnと同様に考えて、
A国が日本に勝つ→B国がA国に勝つ→日本がB国に勝つ
n回くり返す(=3n戦)
引き分けは起こらないから、
J
→日本がA国に勝つ ときである。
A国が日本に勝つ確率は1/12.B国がA国に勝つ確率は1/3
#

ページ10:

したがって&m=(1/1/1/1/2=(7)/(kg) (1≦m)
#
これより81=(ウ)3/16)&=(キ) 648
H
また、anの公比について 11/8 <1より
n
648円
36
lim gkは収束し、その和は
=
(ケ) 344
nook=1
18
日本が優勝しうるのは第3n+1,3n+2戦の場合のみなので(イーコ) 01
3
(ア)/(1)O(ウ) 3/16 (1) 12/7(オ)/()(カ)/2
(キ)
648
(7)/(18) (ケ) 34
(コ) 0
の

ページ11:

36 はじめに, Aが赤玉を1個, Bが白玉を1個, C
が青玉を1個持っている. 表裏の出る確率がそれぞれ
1
この硬貨を投げ, 表が出ればAとBの玉を交換し、
No
Date
2
裏が出ればBとCの玉を交換する,という操作を考
える.この操作をn回 (n=1, 2, 3, … くり返し
た後に A, B, Cが赤玉を持っている確率をそれぞれ
an, bn, Cm とおく。
(1) 1, bì, Ci, a2, 62, C2 を求めよ.
A+B+C
2
AとB、BとCの間で交換する
確率は1/2ずつ
AとCの間で交換は起こらない。
(10 名大・理系)
(2) an+1, bn+1, Cn+1 を an, br, Cm で表せ .
(3) an, b, cm を求めよ、
(1) n回の試行後、赤玉(以下の)を持っているのは必ずA,B,Cの誰かになるので
すべてのnan+lan+Cn=1-1
auはBC間はAB間で交換が起こる確率なのでa1= lbs =
CはAC間で交換が起こる確率であり、そのような交換は
2回の試行後、Aが⑩を持っているのは
T
21
起こらないからC1=01
AB間→AB間(B①→A⑩)あるいはBC間→BC間(A→AD)の順に
交換が起こるときで互いに排反なのでC2= T
+
Bが①を持っているのはBC間→AB間(A⑩→B⑩)の順に
==
H
T T
交換が起こるときでb=1/12/12=1/11
①よりC2=1-02-bz
(2)(n+1)回の試行後、Aが1を持っているのは次のとき
in回後、Aが1を持っていて、次にBC間で交換
ii) n回後、Bが①を持っていて、次にAB間で交換
iii)は排反なのでamel=/am+/lnu - 2
Bが①を持っているのは次のとき、
#
iii) n回後、Aが⑩を持っていて、次にAB間で交換
inn回後、Cが①を持っていて、次にBC間で交換
4
n
AO
n+1
・B→C-
A
BO-AB
AD
AB→
BO
CO-BC
BD-B←C→CO
CO
·AB→
iiii)は排反なのでbmit=
1/2/2ant1/2/cm
-③
KOKUYO LOOSEFA K8888T & mim nullad 36 linea

ページ12:

Cが①を持っているのは次のとき、
V) n回後、Bが①を持っていて、次にBC間で交換
vin回後、Cが①を持っていて、次にAB間で交換
V) Vi)は排反なので Chl=1/2ln+/Cm.
11/2 + 1/2 cm - 4
bmt-1/3=-1/2(ln-1/2)
(3)①③よりhamu=1/2(1-bm)=-1/2lm+1/
b=1/2より数列{lm-1/2}は初b1-1/2=1/公比-1/2の等比数列
n-1
n
したがってlan
=
⇒bbn=
2
//{(1)}
また、①よりan+Cn=1-lnであるから
An + Cn = 2/3 + 1/1 ( 1 ) 2-0
②④より anti-Cnti = 1/2(am-Cm)であり、
=
a1= 1/2、C1=0より数列{an-Cm}は初項/公比/1/2の等比数列
したがってan-Cn=(1/2)72-6
②+回より20m = 3/3+/1/(-1/2)+(1/2)^2
よってam=1/3+/6/6(-1/2)+(1/2)71411
#
⑤⑥より2Cm=1/3+/1/3(-1/2)^2-(1/2)^2
よってCn=1/3+/(1)-(12)72*+.
#

ページ13:

3.7 △ABC の頂点は反時計回りに A, B, C の順に
並んでいるとする. 点Aを出発した石が、 次の規則
で動くとする.
No.
Date
コインを投げて表が出たとき反時計回りに隣の頂点
に移り、裏が出たときは動かない。
(1)[n]]回の試行後、
コインを投げて表と裏の出る確率はそれぞれ
と
石は必ず点A.B.Cの
2
する.
コインを回投げたとき, 石が点 A, B, C にある
確率をそれぞれan, bn, Cm とする. 次の問いに答え
いずれかにあるので 1/
すべての自然数nで
an+lan+Cm=1-1
LB
-12
(1) a1, bì, C 1 の値を求めよ.
(2)
a2, 62, C2 および as, bs, C3 の値を求めよ.
+1, bm+1, Cn+1 をan, b, C で表せ. また,
ai, bai はそれぞれ
(3) a, b Cm のうち2つの値が一致することを
証明せよ。
コインを1回投げて裏、表が
出る確率なのでa=b112
#
(4) (3)において一致する値を とする. Pnn
で表せ.
(2)(n+1)回後、石が点Aにあるのは次のとき.
in回後、石が点Aにあり、次に裏が出る
ii n回後、石が点Cにあり、次に表が出る
iii)は排反なので an+= 1/12am+/cm
=/am+/cm2
①よりC1=1-a-l=0μ
(11 広島大 理系)
n
n+1
A.
・裏
A
C
・表
A
表
B
②
B
#
B-
表
C
点Bにあるのは次のとき
C
iii) n回後、石が点Aにあり、次に表が出る。
(iv) n回後、石が点Bにあり、次に裏が出る
点Cにあるのは次のとき..
ii) in)は排反なので bm+1=1/20m+/bn
v) n回後、石が点Bにあり、次に表が出る。
vi) n回後、石が点Cにあり、次に裏が出る。
#
v) Vinは排反なのでCn+1=1/2lm+/Cm ④
#
(1)と②③④より、d2=1/4.bp=12,C2=1/1103=1/4bs= 3 Cy = 3,
8
(3) すべての自然数nで以下のP(m)が成立することを数学的帰納法により示す。
命題P(m): anlin,Cnのうち2つの値が一致する。
In=1のとき (1) より a1=bb なのでP(1)は成立
#

ページ14:

II)n=RのときP(R)が成立すると仮定する。
エーア) OxbokのときよりCkt1=1/20k+/Ckでありより
ak+1=Ck+1
Ⅱーイ)lak=Ckのとき
③より_bk+1=1/2ak+/Ckであり②より
ak+1=bk+1
Ⅱーウ)CK=CKのとき
④よりCkt1=1/2x+/OKであり ③より
lakt = Ck+1
以上よりη=+1のときP(+1)は成立するからI)II)より
すべての自然数nでP(n)は成立する
(4)(1)よりCL1=b1=1/2なのでに1/2
an=bn=pnのとき
①よりCn=1-an-ban=1-2pn
このときⅡーア)よりanti=Cnt=pntlであり、
Cnt = 1/2(am+ Cm)からPmt1=1/2(pm+1-2pm)
すなわち Pat=1/2pm+/-⑤
lan=Cn=pn, Cn=an=Pnのときも同様に⑤が得られる。
⑤Pnti-1/8=-1/2(pm-1/3)より、数列{Pn-/1/3}は
G
初項P1-1/2=1/16,公比-1/2の等比数列である。
n
=
#

ページ15:

38 サイコロをn回投げ 回目に出た目をk とす
る.また, S, を Sn=2,10-kak で定める.
k=1
(1) S が4で割り切れる確率を求めよ.
(2)Sが6で割り切れる確率を求めよ.
(3) Sm 7で割り切れる確率を求めよ.
(13 一橋大 )
(1)Sn=107-101+lon-2a2+107-303+
No.
Dale
+10am-1+an-①より
Snは出た目を左から順に並べて得られるn桁の整数である。
Snが4の倍数になるのは以下の2つのときである。
i) Snが1桁(n=1)で、Si=C1=4のとき
ii) Snが2桁以上(2≦)で、下2桁100ml+Clnが4の倍数のとき、
i)のとき
ii) のとき
サイコロを1回投げて4が出ればよいから、n=1のとき 1/1
サイコロを1回投げるとき、出る目は1回それぞれに
等しく6通りずつあるのですべての目の出方は6通り
ClからCln-2はどの目が出てもよいから6m-2通り
10an+anが4の倍数になるような目の出方は
(On-lan)=(1,2),(1,6)(2,4)(3,2)、(3.6).
(4.4) (5,2)(5,6)(6,4)の9通り
67-2.9
よって
より2≦nのとき
6n
#
n
(2)Tn=ak とする。
k=1
Snが6の倍数になるには一の位が偶数(⇔>2の倍数)および
各位の数の和が3の倍数(3の倍数)であること、
すなわちanが偶数かつTnが3の倍数であることが必要である。
Tnを3で割った余りが0.1.2になる確率をそれぞれbn,Cn.dnとする
Tmを3で割った余りは必ず0,1,2のいずれかになるので
すべての自然数nでbn+Cn+dn
(2)において合同式の法を3とする。
=
1-2
2≦nのとき、Snが6の倍数になるのは以下の3つの場合である。
i) Tn-10でan=6のとき
ii) Tn-lミlan=2のとき
iii) Tn-12でan=4のとき
i)~iii)はすべて排反なので
1/2lmi+/Cm-1+1/dm-1=/(2)

ページ16:

また、n=1のときS=C1が6の倍数になるのはα1=6のとき
だけなのでn=1のときも言
よって求める確率は1≦nで1である
(3) Snを7で割った余りがたになる確率をPn()とする(=0,1,2,...,6)
Snを7で割った余りは必ず0.1.2... 6のいずれかになるので
すべてのn(≧1)でPn(0)+pn(1)+Pn(2)+.
......+Pm (6)=1-③
①よりSn+1=10ma,+10m-lax+10m-2a3+
=10Sn+antである。
....... + 10² An-1 + 10 An + An+1
以下7を法として、Snを7で割った余りごとにSmt10になる条件を調べる
i) Sn=0のとき
ii) Snlのとき
10Sm=0であり、1≦am+≦6より Snt O
10S103でありan+1=4のとき Sn+10
iii) Sn2 のとき 10S206でありam+1=1のときSn+1=0
iiiii)と同様に考えるとSn+1=0になるのは他に以下の場合がある。
iv) Sn3のときant=5,V)Sn=4のときant=2,
vi) Sn=5のときan+1=6,vil) Sn=6のときan+1=3
i)~vii)はすべて排反であるから、
Ptr(0)=1/29m(1)+/pm(2)+/9(3)+/pm(4)+/Pm(5)+/Pm(6)
=//{1-pm(0)}(③よりPm(1)+ .......+Pn(6)=1-Pn(0))
したがってum=pm(0)とすると
1/19m+/-④(1≦)
Si=αであり、≦a≦6なのでSは7の倍数になりえなく、1=0.
4+
リー
1/1(9-17)より数列{an-1/}は
初項1-1/17--1/17 公比-1/6の等比数列である。

ページ17:

No.
Data
よって&1/17--1/1(/)
=
En
= = {1-(-1)^1}
(1≤N)
#
が求める確率である。

ページ18:

39 さいころを投げるという試行を繰り返し行う. た
だし 2回連続して5以上の目が出た場合は, それ以
降の試行は行わないものとする.
2回目の試行が行われ、かつぇ回目に出た目が4以
2
式を求め、それをPu+2-βP+1=a (Pu+1-Bpm)
(a>β) の形に書くとα= (3) である。 よって,
√3
Pn= - (4) となる.
下になる確率を p" とする.このとき,i=1/23
1回目の試行で出る目をanとする。
P2=(1), p=(2) である.またpo = 1 とおく.
n≧0 に対して,Pn, Pn+1, Pr+2 の間に成立する関係 (1) 1回目に出る目は何でもよく、
2
2回目はα2≦4であればよいから
64
P2=663
2
H
また, n回目の試行が行われ, かつ回目に出た目
が5以上になる確率を とする.この
(2)3回目の試行が行われるには
1="
91= である.n≧2とするとき, Q とPn-1, P1-2
の間には2=(5) なる関係式が成り立つ。 したがっ
て 29m (6) である。
(09 慶大理工)
5≦αかつ5≦O2となってはいけない。
したがって1,2回目のうち少なくとも
1回は4以下の目が出る必要がある。
さらにas4である必要もあるのでP3={1-(6)}/=/
271
(3)1≦nのとき、(n+2)回目の試行が
行われるのは以下のとき。
n
n+1
n+2
i) ant≦4のとき(anは何でもよい) Isan≤6
ii) 5≦ant かつ an≦4のとき、
an+1 ≤4.
An+2≤4
an≧4→5≦amti
iii)は排反であり、さらにan+2である確率を考えて
Pn+2
===
2 { Pri + 1 Pr} = 2/3 P+1 + 2/17 Pn - 0
n=0のときP=1.91P2=1/3を代入しても成り立つので①はO≦nで成立。
Pn+2-Bpnt=d(Prt-Bpn) Pn+2=(d+B)pn+1-dBPn-②と書けるとき、
①②を比較してα+B=1/2/3,αB=- であるから
9
め、BはXの2次方程式x-12/3x
2
=0 すなわち9002-6x-2=0の
解である。
これを解くとx6t/6086+6=1
1+13
1-13
d>Bに注意して d=
B=
3
3
#

ページ19:

(4)(3)のd.Bを用いて
①
SPn+2-dpmt=B(pnt-dpm)
③
Int2-Bpmt=d(pnti-BPm) - ④
と変形できる。
Po=1.911であるから、
③より数列{Pnti-dpm}は初項P1-apo=1/2-α、公比Bの等比数列。
よってPmti-dpn=(1/3-d) pn
④より数列{pnti-BPm}は初項-BPo= B.公比αの等比数列
-d=
3
21+/ 1-13
=
3
よってPaul-Bpm-(1/3-B) an-1
⑥
2
B.
=
3
-B=3
2 1-13 1+/3
=dであり、
3
3
6 - 12') (α-ß) Pn = (1 + 1/3) n + 1 (1 = √3) n + 1
+1
1+√3 1-√3-2/3 - 221) Pn = 3) { (11/3) - (1/3) +1},
3
d-B=
3
(5) 5≦a2となるとき、
3
よりpn=
#
aは何でもよく、5≦a2と
n-2
n-1
n
なればよいから92=33
Ian26 ani ≤4
5≦an
3≦nのとき、n回目の試行が
an-245≦an-1
行われるのは以下のとき.
iii) 0
4のとき(an-2は何でもよい)
iv) 5≦am-1 かつam-2≦4のとき
iiiiv)は排反であり、さらに5≦amである確率を考えて
En = 1/1/15 ( Pn - 1 + 1/3 Pn-2) = -1/3 Pn−1 + 1 | Pn-2 - 0
n=2のときPo=1,P1=1/3を代入すると1/3であり&=1/3と一致する
よってn=2のときも⑦は成立するから2≦で8m=1/391+1/2

ページ20:

(6) ①⑦より2≦nのとき&m=1/29が成り立ち、9に1/32.91=1/3より=1でも
よって、
am=1/2={(1)-(1)
n=1
DO
成立する。
S=(L),T= (1) とおく。
n=1
1<<2より<1.1kg <1なのでS.Tはともに収束し、
S=
==
1+√3
3
(1+B)2
9-3(1+√3)
2(2+√/3) = √(2+√3)²
312-13)
(1)2
(1-√3)2
T =
2(25)=1/2(2-3)2
1-1
9-3(1-13)
3(2+√3)
88
したがってΣqm
19cm=2(S-1)=3/{(243)-(2-1)}
n=1
5.8/5=41
6
その和は

ページ21:

3・10 表の出る確率が♪ (0<< 1), 裏の出る確率
が1pの硬貨が1枚ある. n を自然数とする. この
硬貨を2回投げたとき, 表がn+1回以上出る確率
をP とする. 以下の問に答えよ.
(1) P2, P3 を求めよ.
(2) P3P2となるの範囲を求めよ.
No.
Date
(3) Pn+1P=p"+1(1-p) (ap+b)となる a, b
nを用いて表せ. ただし a, b は を含まないと
する.
(4) p=116 のとき,P,を最大にする n を求めよ.
(10 早大理工系)
(1)P2は硬貨を4回投げて、
表が3回または4回出る確率
よってP2=4C393(1-P)+4C4P4
=-394+4931
P3は硬貨を6回投げて表が4回or5回or 6回出る確率
よってP3=6C4P4(1-P)2+6C5P5(1-9)+6C696
=15p4(1-2p+p2)+695(1-9)+6=100-2405+150411
(2)O<<1よりO<p3なのでP3>P21093-24P2+159>-3+4
10P3-2492+189-4>0
f(P)=1093-2492+18P-4とおくと f(1)=0より
f(P)=(P-1)(10p2-14P+4)=2(P-12(5P-2)
10-24 18 -41
10-14 4
と因数分解できる。
10-14 4 0
(f(P)
したがってf(P)>0 すなわち P3>P2となるPの範囲は
O<P<1に注意すると // <p<1である。
#
→P
(3)硬貨を2(n+1)回投げて表が(n+2)回以上出る(*)のは以下のとき、
i) 硬貨を2回投げて表が(n+2) 回以上出るとき、
→(2n+1), 2(n+1)回目の結果によらず(水)を満たす。
Pは硬貨を2回投げて表が(n+1)回以上出る
確率なのでi)の確率は、ちょうど表が(n+1)回出る
確率をPから引いた確率である。
よってPn-2nCmtlpn+1 (1-p)n-1
ii) 硬貨を2n回投げて表がちょうど(n+1)回出るとき
n+2Pn
以上
N+T
→(2n+1)2(n+1)回目のうち少なくとも1回表が出ればよい
よって2nCmtpm+1(1-P)n-1{1-(1-P)2}
iii) 硬貨を2回投げて表がちょうど1回出るとき
→(2n+1)2(n+1)回目ともに表が出ればよい。
よって2nCmpon(1-9)2.02
硬貨を2n回投げて表が (n-1)回以下のとき、2(n+1)回の試行で
表が出る回数は最大でも(n+1)回であり、(*)を満たさない。
KOKUYO LOOSE LEAPEST 25

ページ22:

iiii)は排反なので
Pnti=Pn-2nCmtlph+1(1-pin-1+2nCntonit 1 (1-2)7-1-2nCnttpn+1 (1-0)+1
Pnti-Pn=2nCmpm+2(1-p)72-2nCntpn+1(1-P)+1
=pn+1(1-p) {2mCmP-2nCm+1(1-9)}
+2nCnpm+2(1-pjn
=0n+1 (1-p) {(2n Cn + 2n Cn+1)P - 2n Cn+1}
=pn+1(1-P) (2m+Cnt2nCm+1)-①
よってM=2n+1Cmtb = -2nCnt11
(4)=1/26のとき① より Pati-Ph=(1/2)m(1/7) (1/6entiCnt-2mCml)
(7)P+(1/2)>0なのでPnti-Pの正負は
7
2n+1Cmt12nCmt
=
16
7 (2n+1)!
16n!(n+1)!
(2m)!
16(n+1) n!
16
2n+1
1+1 Cn+1 - 2n Cn+1 of
(2m)!
(n-1)! (n+1)!
正負と一致する。
7(2n+1)-16n}
(2m)!
16(n+1)!n!
(7-22)-2
(2n)! >0なので②の正負、すなわちPnt-Pnの正負は
T6(n+1)!!
よってn=1,2,3のとき7-2n>0
7-2mの正負と一致する。
Pnti-P>0
すなわち Pm <PntなのでP1<P2 <P3<P4 -③
4≦nのとき
7-2m<OPnt-Pn<o
すなわちPn>Pm+1なのでP4 P5 P6>
④
③④よりP4が最大なのでPを最大にするnはn=41である。

ページ23:

311 さいころをn回投げて出た目を順にX1,X2, ...,
X とする. さらに
Yi=X1, Y=X+
1
Y-1
(k=2, ...,n)
によって Y, Y2, ..., Y, を定める.
1+√3
SY, 1+√3 となる確率を求めよ.
2
(12 京大)
No
Data
与えられたYKの形、および1≦xkからすべての自然数nで1Ymである。
(特に2≦では1<Yn)
において、
1≦x<1+(≒1.36)となる確率をam
2
1Ym=ltv/(≒2.73)となる確率は題烹よりPn
1Ymとなる確率をlan
+3
とする。
P1は1+SY,SH、すなわち1≦x≦1+√となる確率であり、
これを満たすのはX1=2のときのみであるからP1=/である。
また、Yn(1≦)は必ず1≦Ynなる実数値をとるからan+pn+lan =1-0
YnからYntへどう値が遷移するか調べる。
1+√3
i) Yn2
のとき
2
各項正であるから
<
すなわち3-1<
<
1+√√3
Yn
Yn
(≒0.73...)
YN+1 = Xn+1 +
より xm+1-1+√3 <Yn+1=Xn+1+1
Yn
i-ア)Xmt=1のとき✓<Ymtl=2であり、+く、2<1より
HYmtistvを満たす
i-イ) 2≦Xntl≦6のとき 1+√3 ≤ Xn+1 1+ √3 < Yn +1 £1
1tYntを満たす

ページ24:

1+√3
ii)
Yn=1のとき
2
√3-1 +
各正なので
すなわち
√√3-1
1+15
Yn
1+1√5
2
Yn
したがってxnti+
2
(≒0.36...)
√3-1 ≤ 2+1 ≤ X+11+√3
ii-ア) Xmtl=1のとき
1+1/3
Yであり、<1+√より
2
1+√3
2
=Yn+1=1+√を満たす.
ii-イ)Xn+1=2のとき
3+/3 ≤ n + 1 = 1+√36).
1+√3
2
3+√3
<
より
2
(≒2.36...)
1+√3
=Yntiltを満たす.
2
iiウ)3≦x≦6のとき 5tXmti+
B-1≦Yntであり、
2
2
1/5t/3(=3.36…)より1+/Ym+1
2
を満たす。
iii) tv3Ynのとき
√3-1
両辺正なのでOK
+3
すなわちく <
Yn
2
したがってXn+<Ynt<Xn+1+
3-1
2
iii-ア) Xn+1=1のとき
|<Yn+1 < !+√ d1) | ≤ YN+ <
2
1+√3
2
14,3を満たす.
2
iii)X=2のとき2<Ym<363であり、 <2,
1+√3
2
≦Ynt=tv/3を満たす
3+√3
<1+ より
2
3≦x≦6のとき 3≦xntYntであり、1
3より
1+/Yntを満たす。

ページ25:

1+√3
以上から
2
≦Yn+1=1+/となるのは次の場合である。
かつXn+1=1のとき、
i-ア) 1≦x<1/3
バーアイ)/Yml+厚かつXml=1.2のとき
iiiーイ)1+√3<YnかつXn+1=2のとき
これらはすべて排反なのでPn+1
=
/am/pm+/an(1≦n)
ここで①よりan+bn=1-pnなので、
Pret = 1/35
P+/(antan)=/pn+/(1-pm)=/pn+
したがってPaul-1/=/(P-1/2)
P1=/1/6より数列{P-1/}は初頂P1-1/2-316,公比/の等比数列
30
よってP-1/2=360(6)=-5(2)
5(1) より pm=//{1-(1)},
(I≤N)
#

ページ26:

3.16 nを3以上の整数とする. n個の球K1, K2, ...,
K" とn個の空の箱 H, H2, ..., H, がある. 以下の
ように, K1, K2, ..., K, の順番に, 球を箱に1つず
つ入れていく.
まず, 球K」 を箱 H, H2, ..., H. のどれか1つに
無作為に入れる, 次に, 球 K2 を, 箱H2 が空ならば
箱H2 に入れ, 箱H2 が空でなければ残りのn-1個の
空の箱のどれか1つに無作為に入れる.
一般に, i = 2, 3, ..., nについて, 球 K, を, 箱H
が空ならば箱に入れ, 箱H が空でなければ残りの
ni+1個の空の箱のどれか1つに無作為に入れる.
(1) Km が入る箱はH またはH" である. これを証
明せよ.
(2) K-1 がH-」 に入る確率を求めよ.
(1) KnがH2~Hn-1のいずれかに
入る(水)
と仮定する。
kg(2≦x≦n-1)について、
Hrが空ならKgが入り、
すでに埋まっていたらkgはHg以外の
箱に入るので、
(13 阪大・理系)
kgを箱に入れるとどの箱に入れたかに
かかわらずHzは埋まることになる。
したがってKm-1を入れた段階でH2~Hm-1はすべて埋まるので
KnはH2~Hm-1のいずれかに入ることができず仮定(水)に反する。
したがってknはHiまたはHmに入るA
(2) Kn-1がHm-1に入る確率をpnとする(3≦n)
n=3のとき
KiがHi または H3に入れば
k2はH2に入れる。
1230
②
→VA
2
よってP3=1/3-1
n=4のとき
K3がH3に入るのは次のとき、
(i)
(i)kiがHiまたはH4に入るとき
K2はH2, koはH3に入る。
1234
② ③
(ii) KiがH2に入り、
1
このときの確率は1/3/3
=
6
このときの確率は1/
K2がHi または H4に入るとき
12
T 2
→1237
(ii)
11234
→1434
→VAB
(i)(ii)は排反なのでP4=1/2+1/
3
2
以上から3≦れに対してPn
②と推測できるので
= 3
数学的帰納法により示す。

ページ27:

Ap=0, A5
である。このとき
Am=
-An+1+-
B
-An-1, 1≦x≦4
が成立する. よってA+1-A=
(A-A-1)
3･12 太郎君は2円 花子さんは3円持っている.
gato
いま、 次のようなゲームをする.
じゃんけんをし, 太郎君が勝ったならば花子さんか
ら1円をもらえ, 太郎君が負けたならば花子さんに1
円を支払う. ただし, 太郎君がじゃんけんに勝つ確率
は 負ける確率は であり, どちらかの所持金が
5'
20となったときにその者が敗者となりゲームは終る.
A を太郎君の所持金が円となった時からスター
トし,花子さんの所持金が0となる確率とする.
2人の所持金の合計は5円なので
太郎君が5円持っている時点で
花子さんの所持金は0である。
よってA5=111
太郎君の所持金がn円でスタートし、
太郎君が勝者になるのは次のとき
i) 最初は太郎君が負け、
で,これから A5=
-A1, A2=
-A1 が得ら
れる. よってこのゲームで太郎君が勝つ確率は
所持金が(n-1)円になってから勝つ
ii) 最初は太郎君が勝ち、
である.
(97 慶大・環境情報)
i) ii)は排反なので An=
Ant+
所持金が(n+1)円になってから勝つ
2
3
An-l
-①
H
すなわち
$115 Anu = 1/2 An - 33 An-1 £1) Anu - An = 1/3 (An - An-1),
より
H
と変形できる。
これをくり返すと
Anti - An = 3 (An-An-1) = (32)² (An-1 - An-2)
②n=1.2.3.4とした式を辺々加えると、
(A5-A4)+(A4-A3)+(A3-A2)+(A2-A1)=
81
=(2/2)(A1-Ao)=(1/2) A1-②
n
(A=0)
{2+(2)+(2)+(2)+}A,
As-A1-A, - 3 ($6-1) A₁ = 195 A₁
2/2-1
211
16
よってA5
=
A1であり、A5=1よりA1=
16 #
211
①にn-1を代入してA1=1/A2+/2/2Ao、Ao=0なのでA2=27/A1
5
#
太郎君の最初の所持金は2円なのでA2は太郎君がこのゲームで勝つ確率で、
その確率はA2=
1/2A1,Ar=
16
211
40
より A2
=1
2111

ページ28:

I)n=3のとき ①よりP3=1/23 なので②は成立
II)を満たすすべての自然数nで②の成立を仮定する。
(m:3以上の整数)
n=m+1のとき、kmがHmに入る場合を考える。
kmがHmに入るのは次のときである
i) Ki が H, またはHm+に入るとき
kr(2≦x≦m)はそれぞれHrに入る
このときの確率は
1234 mm //A
1234 ...... m+1
234 (m
mm
2
m+1
ii) Ki が Hi (2≦i≦m-1)に入るとき
①② i-Di
K2. K3.
Ki-sはそれぞれ
↓↓
↓
mm+l)
↓
H2, H3."
Hiーに入る。
よって(m+1)-i+1=m-i+2個ずつ残った
球Ki, Kit.
kmを
Đỏ Hi Hin
12. モ1 2 ... m?
Hm+に無作為に入れることになる。
LPm-i+2
したがってKiをHiに入れたとき、kmがHmに入る確率はPm-i+2
i2
S&
また、Kiが1つの箱Hiに入る確率は
であり、
m++
ではで=2.3..... m-lをとるから
m+1
Pm-i+2
i=2
iii)は排反なので、
Pm+1
=
+
M+1
m+12= Pm-1+2
=
m+1
M + 1
(2+Pm+Pm-1+Pm-2+....+P3)
{2+/(m-2)}=m+1.2mg2 = 12/27 (仮定より)
=
3
3
よってn=m+1のときも②は成立
Ⅰ) II)より3以上の自然数nで②は成立するので
求める確率は1/2/3 である

ページ29:

3・13n個のボールを2個の箱へ投げ入れる, 各ボー
ルはいずれかの箱に入るものとし、 どの箱に入る確率
も等しいとする. どの箱にも1個以下のボールしか入っ
ていない確率を とする. このとき, 極限値
No.
Date
log Pn
lim
を求めよ.
n
(10 京大理系)
2n
ボールの入れ方の総数は、
n個のボールそれぞれに対して
等しく2n通りずつあるので(2m)通り。
次に題意を満たす入れ方を考える。
1個目のボールはどの箱でもよいから2n通り。
2個目のボールは、1個目のボールが入った箱以外
O
2n-1
2n-2
02
に入ればよいから(2n-1)通り
3個目のボールは、1.2個目のボールが入った箱
以外に入ればよいから(2n-2)通り
02
(n-
LN-1 [n+1
1個目のボールは、1~(n-1)個目のボールが入った箱以外に入ればよいから
{2n-(n-1)}=(n+1)通り
n!
以上より、題意を満たすボールの入れ方は
2n2n-1)(2η-2)
(n+1)
=
(2m)!通りである(=2nPm)
(2m)!
よってPn=2mm
n!
N! (2n)n
(2m)!
・(n+1)
2n(2n-1)(2m-2)
(2m)
Pnは確率であり、nは自然数であることからO<pnであり、自然対数をとると
2n2n-1 2-2.
logon = log 2n
2n
logon
.
+
2n
2n
2n-1
2n
log
n
log-en
n+k
=1
k=1
n+1
2n
2n2-2
+log an
++
2n
+log
n+1
R
n
kilog
++
n
=
2
{{ log(1+)-log2}より、
logPn
lim
N→00
n
-L' (1+x)
n
log(1+ R)
= lim { // log (1+ %) - log2} = So log (1+x) dx = _leg2
N-00
ki
" (1+x)' log(1+x) dx = log 2 = [(1+x) log (1+x)]' - So' dx - log2
=2log2-1-log2 = log2-1 (=log/ )
#

ページ30:

No.
Dat
3 14 1辺の長さが1である立方体の8つの頂点から
1つ選んでAとし、 次に残り7頂点から1つ選んで
B, さらに残り6頂点から1つ選んでCとし, 線分
ABの長さを X, △ABC の面積をY とする.
Y=- ーのときにX=1となる条件つき確率を求め
√2
.
(97 愛知教育大/改題)
立方体の8頂点に右図のように1~8と名付ける。
図形の対称性より点AをA=1と固定しても
一般性を失わない。
2つの事象A,Bを次のように定める。
A:Y=度になる B:X=1になる。
1(A)
2
13
1
8
6
√2
また、右の図はY=1/2となる1例であるが、
A
A
√3
√2
Y= となるような△ABCは1:12:1の
↓
直角三角形のみである。
Y=1
よってY= 1/12となるような点B,Cの選び方は
{B,C}={2,7},{2,8},{3.5},{3,7},{4.6},{4,7},{5.7},{6,7},{7.8}
9通りそれぞれに対して、BとCの順を入れかえる場合を考えて、2!×9=18通り
また、2点B.Cのすべての選び方は、A(1)以外の7頂点から異なる2点を選び、
B.Cにふり分けると考えて7P2=42通り
18
よって、P(A)=
- 0
42
また、ANB すなわち Y= /かつX=AB=1となるB.Cのとり方は、
AB=1となるのはB=2,4,5のときであることに注意すると
(B,C)=(2,7)(28),(46) (4,7)、(5,3),(57)の6通り。
よってP(AB)= - 2
42
以上から、求める確率PA(B)
P(AB)
PLAY
6
①②より、PA(B)=
42
==
である.
18
42

ページ31:

3・15 箱A には赤玉2個, 白玉3個, 箱Bには赤玉
3個, 白玉2個, 箱Cには赤玉4個, 白玉1個が入っ
ている.無作為に2箱選んで玉を1個ずつ取り出した
ところ2個とも赤玉であった。このとき選ばなかった
箱がAである確率を求めよ. (97 旭川医大/改題)
2つの事象A,Bを次のように定める
No.
Date
A: 赤玉を2個取り出す。
A
B
B:選ばなかった箱が箱A
10×3
10×2
Ox
<箱B.Cを選ぶ)
⑩×2
⑩ ×3
箱A,Bを選んで赤玉を1個ずつ取り出す確率は
?
?
=
355 75
2.2.2/3-12 -0
箱B.Cを選んで赤玉を1個ずつ取り出す確率は1/32724-72
355 75
242
箱C.Aを選んで赤玉を1個ずつ取り出す確率
は1/8.1/8/7/2=1/15
16
①②③はいずれも排反な事象の確率なので
12
P(A)=75 +
-24
16
52
+
=
4
75 75
75
また、AnB すなわち箱B,Cを選んで赤玉を2個取り出す確率は
②よりP(AnB)
P(AnB)
以上から求める確率PA(B)=
は②④より、
P(A)
24
PA(B)=75
6
52
75
13H
24
== 75