微分

652

Hayran

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微積分中的微分痛苦地獄

2026.01.18 公開

微分微積分數學地獄數學

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ノートテキスト

ページ1:

Date.
微積分(Calculus)
「簡述:微積分是關於變化的數學,有切碎(微分)和積累(程
分)2種型態
微分(Differentiation):“切碎”看變化.
1.概念,將一個持續變化的過程切成無限多個極小的
片段,觀察“那一瞬間發生的變化.
a.
ax+by =C, a+b+0,47=1ª
i,a-b不全為0,斜率=
2.幾何意義:計算曲線在某一點的斜率(切線的斜率)
積分(Integration):“累積”看結果
1.概念,將無數個極小的片段加總,恢復事物的全貌
2. 幾何意義,計算曲線下方的圖形面積/體積。
☆☆☆

ページ2:

基本微分(公式)
Date.
Date.
1.常数微分,不變的東區(變化率=0)
4. 乘法法則u-v公式
·若函數是一個“固定”的數字(比方說f(x)=5),它的微分.2個函數相乘時,不能直接微分相乘,要用“前微
永遠足。
·公式:(C)=0
2.幂欢法则:最常用的公式
後不做+前不微微的規則
•公式:(u.y)'=d.V+ur
5. 指數函數:自己微出自己
·處理化的次方最快的方法,若要以一句話蓋括,就是,是數學中比較特別的函數,它的微分可以做出自己
次方掉下來,指數減1.
• '*' (X^)' = n· x^" or (ax")'= n.a.x^y
•例子:(x*) = 2X,(X)=3.3.X = 9X
3. 線性性質、加減法分開算
一當有2個函數相加/減時,你可以直接分開,再加流
回去
·公式:(f+9)=f'+g'
☆小提醒:
微分可表示成fivor (X)兩種,分别叫作拉格朗
日記號。萊布尼茲記號.
1.公式:(ex)=ex
***
***

ページ3:

Date.
基本微分(示范)
Date.
1. 常數法則(Corthat Rale)
若f(x)=19則f(x)=0"
5. 乘法法則(Product Rule)
"F(x) = x²-sin(x)"
解釋:數字19是一個固定的值,它沒有變化率,故微微分後呈以下狀態:
分出來會零
2.冪次法則(Power Rale)
(1)若f(x)=x”微分的結果會是"f100=3x="
(2)若f(x)=x,微分的結果會是f(X)=3.4X2
3.常數倍數法(Constant Nuitiple Rule)
若“f(X)=5X”則微分結果就會等於"f(x)
=5X(X)=15X²
4.加減法法則(Sum/Difference Rule).
f(0)=X+4X”在微分後會變成f(x)=2x
+4
註:4X的微分就是係數4
• f'(x) = (x²)· sin(x)+ x² (sinx)
4+ flx) = 2x + sin cx) + X = cos(x)
✰✰✰

ページ4:

Date.
進階微分(公式)
1.除法法則(Quotient Rule).
·時機:微分一個分式(分子,分母皆為函數)時題目:
·口訣、底乘微頂,滅去頂乘微底,最後下面放底的平
方
•實際公式:
(+) = 12-19
92
2.連鎖律(Chain Rule).
進階微分(計算)
Date.
7.除法法則
好:分的導數(微分)
• F'(x) = 2XX-XX+D-3X
X-X3
2X²-3X1-3X² _ -X+-3X
X'
必
·微分中最重要的規則,用來處理合成函數(嵌套函
數,如sin(x)那種合成獸
·口訣由外而內,層層剝開
• dy - dy du
.
dx du dx
★★
Ans X-3X
3
x²
x+
-X-3X 可化簡
16
-**
如
14
+(91)-3X(1)
3
x+
x²
14
P.S. 記得約分
**

ページ5:

Date.
3.混合题型
2.連鎖律
題目:求函數g(x)=sin(e)的導數.
> 設 e^= u→ 內嫩
題目:
h(x)=
元化會
外層函數→ sin(a)
sin (...) = cos(...)
10x)=ex 指數函數
相乘得[sin(e)]' = cos(exy.ex
Ans:
g'(x)=e^coscer
NX+4
Date.
# h(x) = ?
=(x+4)
「外居(...),內層:(x4)
相乘
外得:一÷(x+4)÷內得2X.
X²+45334x
→h(x) = -x(x+4)+
晓根號
= (X), 44
-X
***
NCX747
Ans: h(x)=
-✗
NCX+4)
***