高3 【夏休みのお勉強】数学：複素数平面（令和7年7月全統共通テスト模試）🔚

赤城 (◕ᴗ◕🎀)

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▷ 過去問自学

2026.07.24 公開

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ノートテキスト

ページ1:

数学Ⅱ, 数学 B 数学 C
第7問 (選択問題) (配点 16) 自学 (、
a,βを0でない複素数とし, 複素数平面上に3点 0 (0), A (a),B(β)
を頂点とする三角形 OAB がある。
z=
Bとおくとき,z の値と三角形 OAB の形について考えよう。
a
以下, 複素数の偏角は0以上2未満とする。
(1) α,βは
β2-2aβ +4a2 = 0
を満たすとする。zの値を求めよう。 ①の両辺をα2で割ると
B
a
2
B
-2.B
+4=0
a
となり, z= であるから
a
z2-2z+4=0
となる。これを解くと
z= ア
イ
i
である。 さらに, zの虚部が正であるとする。
z= ア 土
イ
i
であり, z を極形式で表すと
π
π
z= ウ COS
+isin
エ
H
である。
(数学Ⅱ, 数学 B, 数学C第7問は次ページに続くよ。)

ページ2:

(2)三角形 OAB は,次の二つの条件を満たすとする。
条件
(条件1) AB = 20A
2
(条件2) ∠AOB π(ただし, ∠AOB は, 半直線 OA を半直線
3
OB に重なるまで, 反時計回りに回転させた角とする。)
AB =
OA =
キ
であるから, (条件1)より
カ
= 2
キ
3)
B
a
が成り立つ。 z= であるから, ③の両辺を|α|で割ることにより,点zは
複素数平面上で,点 ク を中心とする半径 ケ の円周上にある
ことがわかる。
また,β = za であるから,(条件2)より,|z|=r(r>0)とおくと
コサ
ス
z=r
+
-i
シ
セ
と表される。 よって, z = x + yi ( x, yは実数)と表すと
y =
ソ
ス x(x<0)が成り立つ。
以上より,(条件1), (条件2) をともに満たす zは
である。
タ
チツ
z=
+
-1 ト +√√ +=
-i
テ
ヌ
(数学Ⅱ, 数学 B, 数学C第7問は次ページに続くよ。)

ページ3:

カ
キ
の解答群(同じものを繰り返し選んでもよい。)
a
◎ |a| ① B\ ② aβ| ③
2|aẞ| ③ |
| ⑦
a
-
B
⑤ |β-α|
ク
の解答群
◎ 0 ①1
② 2
③3
④ 4
⑤ 5
ケ
の解答群
① 1
② 2
③3
④ 4
⑤ 5
-2

ページ4:

高校3年 2025年7月 第2回全統共通テスト模試 自学
第7問 【数学C: 複素数平面〗
(1) z=
B
a
▷ β2 - 20β + 4m² = 0
①の両辺をαで割ると
つまり
①
B
a
2
B
-2. +4=0
a
z2-2z+4=0
これを解くと
Z
-(-2)±√(-2)^-4×1×4
2x1
=1±√3si
zの虚部が正であるとすると z=1+√3i ...... ②
②を極形式で表すと
z
兀
== 2(cos + sin 3)
3
√3
|z|
=
√1² + (√√3)²
argz =
πT
|3

ページ5:

(2)
▷ 2点間の距離
AB = 20A より
▷ 複素数が表す図形
AB = |β-α|, OA=|α|
|β-α|=2|α| ......③
|β-α|
B
③の両辺を|α|で割ると
2
1| =2
| a |
a
∴|z-1| =2
よって, 点 z は点1を中心とする半径2の円周上にある。
▷ 回転移動 β=za
=2/2より
|z|=r, argz= ∠AOB=ニπより
z=r
COS-π+isinπ
3
sin (37)
2
=r
+
▷z = x + yiとおくと
rを消去して
▷ を1へ代入すると
x=--r, y= -r
2
y=-v
=-√3 x
x (z=x-V3xi
|x-v3xi-1|=2
(x-1)+(-√3x)il²=4
2
{(x-1)+(-√3x)}(x-1)-(-√3x)i}=4
両辺を自乗して
共役複素数の性質より
(x-1)-(-√3xi)²=4
zz = |z|2
∴. 4x²-2x-3= 0
1-√√13
∴.x =
(x < 0)
4
したがって
N
-√3+√39
4
1-v13-√3+√391
+
i
II