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1.5 複素数 65.11
虚数単位と複素数]
が実数のとき であるから、方程式
ズニーは実数の範囲では解をもたない。
そこで、acoのときにも方程式とこのを解く
ことができるように、数の範囲を拡張する。
具体的には、方程式ズニーを満たす新た
な数を考え、これをで表す。こを虚数単位
という。この定め方から
が成り立つ。
2=-1
実数a.bに対してa=a+biの形の
数αを考え、これを複素数という。anaの
実部、bをαの部という。虚部bfoのとき
αを虚数といい、とくにa=0のとき
a=biを純虚数という。虚部b=0のとき
aは実数であるから実数は複素数に含
まれる。複素数は次のように分類することが
PII
例1.14
a=-1+3i、B=2-iのとき、それらの
和、差積は次のようになる。
(1)a+B=(-1+3i)+(2-1)
= (-1+2)+(3-1)i
=1+2i
(2)a-B=(-1+3i)-(2-i)
=(-1-2)+(3+1)i
=-3+4i
(3) aB=(-1+3i)(2-1)
問1.14
=-2+i+6i-3iz
=-2+7i-3.(-1)
=1+ni
①a+B
=(5+2i)+(4-3i)
できる。
実数 (b=0)
②a-B
複素数
・純虚数
=(5+2i)-(4-3ì)
atbi
虚数 (b≠0)-
(a=,b=0)
純数でない虚数
(a7o. 670)
=5+2i-4+3i
ltsi
③ aB
=(5+2i)(4-3i)
例1.13
=20-15i+i-6iz
問1.13
(2)3i
a=6-2iの実部は6.虚部は-2である。
①+30 実部2.虚部
=20-15i+8i-6(-1)
=20+6-70
26-70
④a2+B2
実部
部3純虚数
=(5+2i2+(4-3i)2
(3)3-2
実部 3部|
(25+20i+412)+(16-24i+9÷2)
(14) -5
=41-4i+132
=41-4i+13.(-1)
=41-13-4i
ccccccccccco
問1.15
(3-i)x+(1+4y=s+ni
3x-xi+y+4yi=5+7i
3x+y=5
-x
①×4
②
+42=7
12x+4y=20
-+x+4y=7
13x=13
ここ1を①に代入
3+y=5
y=2
[共役複素数]
・②
3) 1
1+3i
1
1-3:
3+C
+
+
(1+3)(1-3) (3-1)(3+i)
1-3
1-912
+3+2
1-3
3+C
+
10
10
5
[負の数の平方根]
x = 1
複素数で考えると、負の数の平方根を求めること
ができる。
Ox=1
07=2
例1.17
複素数a=a+biに対して、a-biを
aの共役複数といい、すで表す。このとき、
araの和と積は、それぞれ
ata=ca+bi)+(a-bi)=2a
aa=ca+bi)(a-bi)
=az_(bi)²=a+b2
となり、これらはいずれも実数である。
P12
例1.15 a=3-2℃のとき、次のようになる
(1)a=3-20=3+2i
(2)ata = (3-2i)+(3+2i)=6
(3)aa= (3-2i)(3+2i)
=32-(2)²=13
分母に虚数を含む分数は、分母の共役復
素数を分子と分母にかけてa+bica.b
は実数)の形に直すことができる。したがって、
2つの複素数の和、差積・商はいずれも
複素数である。
(i)²=-3,(i)=312=-3
であるから、-3の平方根は土である。
★方程式=-3の解はx=土である。
一般に正の数のに対して、次のように
定める。
1.10] 負の数の平方根 -a(a>0)
aoのときa=sai
とくに
例1.18
S-5=si
P13
例1.19
J4=54i=20
(1)-3-12=12=6=-6
(2) √12 25
= 23 = 2 = 21 = 21
===
1-353i
★arob> のとき
Ja
Fa-ba-bl, b
[複素数の計算
2つの複素数a+bic+diの相等に
ついて、atbi=c+diが成り立つのは
a=cかつb=dのときであると定める。
とくに、a+bi=0となるのはa=b=0の
ときに限る。
複素数の場合も実数と同じような計算が
できるように、計算方法が定められている。
複素数の計算では、文字であるかのように
扱いが現れたら-1で置き換えるものとする。
2つの複素数の和、差積はまた、複数に
なる。
=28-4ì
例題1.4 複素数の相
(1+3i)x+(2-iy=11-2ごとなるよう
実数xの値を求めよ。
左辺を展開して整理すれば、与えられた等は
(x+2g)+(3x-yi=1-2:となる。
2つの複素数が一致するのは、それぞれの
実部と商部が一致するときであるから
{x+2y=!!
3x-y=-2
が成り立つ。これを解いてもこし、y=5
が得られる。
例1.16
(1)2+i
(2+ii_zitiz
=1-2i
i²
(2)-1+20
(+20)(2+)-2-
20
(2-1)(2)
4-22
となることに注意すること。
-4+3:
4
5
+2
問1.16
(1) 2-1
=
(2-iizi-izzi+1.
T
5+41 (5+4)(3+22) - 15+10+12;+8²
3-2i
(3-2) (3+27) 9-412
19+22-8 7+221 1+1/3
9+4
13
28
=-1-21
1.17
Q-8-12=8i ·√i=22i 23i
S-12
-20
=456-45
22 661
=
23032 -3
3
=
23i
1-3 3
-2
=
2
6
3

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P14
練習問題 165.11
[1]
(a+b)h
S=
(a)
2S= (a+b)h
(a+b)
h = 2S
a+b=2s
2S
h
[2]
①2x-370
x-15-2x
①2x3 ②3x=6
x><
・①
X ≤2
2<x=2
②) 3x3-2x+5・・・①
・②
X≥3
①5x35②-x-3
xzl
a =
a=b
h
-
(
2s-bh)
h
x33
Z=
a
a-r
(r)
$
[B]
2=1-F
2-1=-7
atta
ax+bo
ニー - Z+ 1
1
-N+I
[6]
(13-551-12-551
=-3+55-(-2+55)
=-3 +55 +2-5
13-551-12-551
=3-5-(-2+5)
=3-55+2-55
=5-255
②12+21152-21
=2+2-52+2
=(+2) (-52+2)
=2+2-252+4
=2
[8]
①2(3-1)+5(-1+i)
=6-21-5+5℃
=1+30
②(3+5)(4)
=12-3i+20i-5iz
=12+170+5
=17+17
③ 3+2i (3+2i)(2-3)
2+3i
=
(2431)(2-31)
12-Si
13
6-9i+4i-bi
4-92
1
3
+
+
=+++
=i-2+3i+4
=2+2c
ax>-b
aoのとき
①(23-551123+)
=12-5
ニワ
②3-25
a
a
-2+1=F
r = =z+1
a
Z=
(r)
a-r
1
-a+a
= t
a
a-r
Z
[[4]
bacoのとき
a
= a-t
acz-1)
① 0.725
r
=
Z
Z
725
a-a
=
1000
29
40
ミート
2+3
(3-23)(2-3)
(2+53) (2-53
6-353-453+6
4-3
=12-753
(13)
1
+1
1
+
S3
§3-1
3+1
+
(53+1)(3-1) (11)(+1)
⑤5 (2+i)²=4+4i+i=3+4で
(() =>
=3-4i
7-2
(1+1)(1-2)
1-2
7-22
1-2
i
2
=2
(2) 0.303
a=0.303
1000=303.303.
- a= 0.303-
53-1
3-1
+
Z
③x+y=xy
x=xy-y
7(x-1)=x
x=y(x-1)
999a=303
3-1 √3+1
+
1303
101
2
2
a =
y =
x
999
333
x-1
③1.235
(sati-sa
(4)
x-1
y=
a=1.235
Sati+sa
2x+3
X-1
10000=1235.35 ...
-L 10a=12.35..
2x+3
=y
x-1=y(2x+3)
x-1=2xy+3y
x=2xy+3g+1
x-2xy= 3y+1
x(-23+1)=3y+1
x=
37+1
-27+1
3371
27-1
+1
3-1
23
=√3
2
Ca+1+53) (a+1-53)
・a+1+a
(ati-sa)(Sti-5)
a+1-3
[[9]
⑩a-aは純虚数である
a=atbiを代入すると、
atbi- (a-bi)=atbi-atbi
=2bi
となる。
したがって、a-aは純虚数である。
②a2+2は実数である
a=atbi を代入すると
(a+bi)+(a-bi12
990a=1223
a=1223
990
atl+3a
0-2
lati-sa
Jati+Ja
(Satisaxatina
=
(attati-sa)
[S]
①ja=a -1.-2.-3
=
②latbl=lal+1bl
a=,b=-4
atl-2sasatita
atla
=a+1-2」alatita
=20+1-2acati
(a2+2abi+b2²)+(a-zabi+b22)
=a2+2abi-b2+az-zabi-62
=292-262=2(a²-b²)
となる。
したがっては実数である。