ページ3:

[考察]多項式を1回微分すると、次数が1だけ低くなるから、
P(x)を交次の多項式とすると、
(P(x):次の多項式)
P'(x):(k-1)次の多項式
P'(x): (k-2)次の多項式
:
P(-1)(x):1次の多項式
P(k)(x): 0次の多項式(定数関数)
・・・となり、定数関数を微分すれば0となるから、
(+1)(x)=0
特に、P(x)=(x-a)
である。
のとき
P/(x)=f(x-a)x-1
P°(x)=/(k-1)(x-ak-2
P(k-1) (x) = k (k-1) (k-2) ... 3.2(x-a)
P(金)(x)=f(k-1)(k-2)... 3-2-1=k!
No.
3
Date 20269
P(k+1)(x)=0
となる。
いま、Xについての次の多項式f(x)を(x-a)の多頂式として表したものを
(a) f(x)=0+α, (x-α) + ac(x-α)² +...+an (x-a)".
とする。 (9)の両辺を回微分すると、1kn-1のときは、
f()(x)}+{(x-a)の1次以上の多項式}
f(4)(a)=hlaxであり、知nのときは、
f(n) (a) = nlan
.. f(n) (a) =n! an
となる。
X=0のときは、f(0)(x)=f(x)と規約し、f10)(a)=f(a)=do,
従って、k=0,1,2, nに対して、
an=f(t)(a)と表され、これを(の)に代入して、
k!
f((a)1
(10) f(x) = f(a) + f'(a)(x-a) + "(a) (x-a)² ++...+.
12 + ... + 1)(A) (2-1) ...
21
た!
f(a)(xa)=f(a)(x)が得られる[考察] おわり、
n!
100
kl
(10)の右辺を、多項式f(x)のaを中心とするテイラー展開という。
(8)は、(10)で2=3とした特別の場合である。

ページ4:

No.
4
Date 20269
8
例)
での1を中心とするテイラー展開
組合せの記号
n ( k = n ( n − 1 ) ( n − 2) ··· (n-k+1).
n!
k!
k!(n-k)!
R=0,1,2,3,を代入すると、
n(n-1)
no=1,min,n
,nC₂ = -¸n C₂ = n(n-1) (n-2)
2!
3!
解 f(x)が次の多項式のとき、そのを中心とするテイラー展開は、
次のように書ける:
2!
f(x)=f(1)+f(1)(x-1)+(1) (x-1)+・・・+ -(x-1)
5(1)(1)
ni
ここで、f(x)=xとすると、f(1)=1で、
f(x)=nx"
→ f(1) =n=nC₁
f"(x)=n(n-1)xn-2
f(1)n(n-1)=mcz
2!
21
f(h)(x)= n(n-1)... (n-k+1) X^-* →
n!
n!
f(x) (1) _ n(n-1)... (n-k+1) = n(k
k!
f(x)=n(n-1)……3.21 ->>>
2!
ni
n!
従って+1)(スーパー+…+(スージ
=n Cotn C₁(x-1)+n (2(x-1)² + ··· + n (n (x-1)"
これが、どの1を中心とするテイラー展開である。
例1の展開で、つーにもつけて とおくと、
(1tt)=nCotnGitto zuttnCat
女を人に書き換えて、
k!
n
(11)(1+x)=nCotnCixtncextナリズ
これは二項定理に外ならない。
(けん= maxk
R20
ほか

ページ5:

No.
5
D2026 98
ページ
(参考)前のf(x)について、そのaを中心とするテイラー展開:
f(x) = f(a)+f(a)(x-a)+ f'" (a) (x-ax +...+.
2!
f(n)(a)
ここで、f(t)=ズとすると、先の計算と同じようにして、
n!
-(x-a)"
-x" = n Coα"+nC₁a"-| (x-a) + n (₂ a^-² (x-α)² ++ (nα° (-a)"
いま、x-art x=att とおくと、
(att)" = n Coan +nC₁ay ++nCz an² +² to +n Crait"
↑(att)の0を中心とするテイラー展開
tbを代入すると、
(a+b)" = n Coa" b² + n C₁an-' b' + n Czan z b² + ... + n Cn a°b"
ZnCkanabe ←通常の二項定理!!!
R=0.
01.2
の展開
f(x)=としたとき、そのテイラー展開はどうなるか?
(10) f(x)=f(a)+f(a)(x-a)+ -(x-α.)²+...+.
f"(a)
2!
1-x
f(")(a) (x-a)^
n!
(10)は次の多項式だから、f(x) (10)そのままの形には展開できない。
なぜなら、(10)を(n+1)回微分すると定数関数f(n+1)(x)=0となるが、
!!
·f'(x)=-
(1-2)2
f(x)=2!
n!
f(n) (x) = (1-x) |
(n+1)!
f(n+1)(x) = (1-x)
となって、f(x)=0とは一致しないからである。
ところが、(1-2)(1++ズナツナズ)=ノー
ですから、ワキノならば、

ページ6:

No.
Date 202698
1-2 1-x
+x+x+・・・+ズナー
1-2
もし、[x)、すなわち、xならば、
移項
lion - 0
であるから、
3780 1-x
∞
(12)
= 1+x+x² + - + x²+ = x* (1/1).
450
つまり、六
つまり、 は、次の有限個の頂をもつ多項式には展開できないが、
水の範囲で、Xの無限個の項をもつ無限級数の形になら展開できるのである。
さて、上のf(x)、f(x)、f(x),..,f('(x)...にx=0を代入すると、
x²+...+
2!
これを、f(x)のx=0を中心とするテイラー展開という。
f(0)=1,f(0)=1,470)=21,f(0)=n!」となるから、(12)は次の形をしている。
005(火)
{
(火)
(13) f(x) = f(0) + f(0)x + 1 (0) 2x²+ + f (0) + = f (0)
n
k=0 カ
(12)は、f(x)=x=0を中心とするテイラー展開である。
xk
f(x+a)=f(a)+fla)x+1.
ところで、g(x)=f(x+a)とおくと、(1)(x)=f(1)(x+a)
であるから、g(x)、すなわち f(x+a)のx=0を中心とするテイラー展開は次のようになる
"f" (a) x² + = f(n) (a) x^
g(R)(0)=f() ()
Z!
この式で、x+a=tix=t-aとおき、さらに十を改めて人と書くて、
(14) f(x) = f(a)+f(a)(x-a)+ f (a) (2-1)+ = [o h
8
f(a)(メーパー+=f()(a)(xa)
21
k=0
(14)を、f(x)のつのを中心とするテイラー展開という、
a=0のとき(13)と(14)は一致する。