【数Ⅲ】数列の極限⑤♾無限等比数列⑴

数列の極限無限数列

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赤城 (◕ᴗ◕🎀

Senior High3

▷ 基本の自学

2026.03.18 公開

数ⅲ 数列の極限無限等比数列赤城数3 数３数学3 数学３数学Ⅲ

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ノートテキスト

ページ1:

無限等比数列{r"}の極限 (rは公比)
(i)r>1
のとき limr"=8
n→∞
(ii) r=1
のとき limr”
=
1
n→∞
(iii)-1<r<1のとき limr" =0
n→∞
(iv)r ≦ -1
のとき 数列{r"}は振動し、 limr" は存在しない。
n→∞
※ 数列{r"}が収束する-1<r≦1

ページ2:

基本問題自学 ©Akagi
1 第n項が次の式で表される数列の極限を調べよ。
n
(1)
3
(4)(-3)"
(2)
3
n
(5)2(√2-1)
n
3
(3)
4
n
1
(6)
12
2 数列{(2x)}が収束するようなxの値の範囲を求めよ。 また、そのとき
の極限値を求めよ。
3 次の極限を求めよ。
3.2"-5
(1) lim
2"
n→∞ 2"+3
(3) lim
4"-1
n3" +5
(5) lim (5"-4")
n→∞
n→∞
(-3)" + 2"
(6) lim{(-2)"-22"}
n→∞
(2) lim-
n→∞ 3-4
(4) lim
3)7+1
-2"

ページ3:

1
(1)=1/2で
自学©Akagi
r=-で、 -1<r ≦1だから lim
-1<r≦1だからlim
3
n→∞ 3
n
1
=
-0°
よって、0 に収束する。
n
4
4
(2)
r == で、 r>1だから lim
3
=8。
n→∞3
よって、正の無限大に発散する。
笑
合
n
3
3
(3)
r = で、-1<r≦1だからlim
4
=0。
n→∞
4
よって、 0 に収束する。 图
(4) r-3で、 r<-1だから振動し、 極限はない。 圏
=
(5)r=√2-1で、-1<r ≦1だからlim2(√2-1) =
よって、 0 に収束する。 圏
1-√√√2
1+√2
1
(6)
=
1-2
極限はない。 图
n→∞
=
=-(1+√2)より、r<-1だから振動し、

ページ4:

自学©Akagi
2 無限等比数列が収束するのは公比が-1<r≦1のときだから
-1<2x≦1
<x≦
2
2
このとき、 極限値は
1
ア 公比が1、 すなわち x=
のとき
2
lim(2x)" = lim1" =1圈
n→∞
n→8
イ 公比が-1<2x <1、 すなわち-- <x<
1/2<x<1/2のと
・のとき
lim (2x)" =0
n→∞
笑

ページ5:

自学 © Akagi
3(1) 分母分子を2”で割ると
3.2"-5
lim
lim
=
n→∞ 2"+3
n→8
(2) 分母分子を3”で割ると
3-5·
-5⋅(-
1
n
n
1+ 3·(-)"
||
3-0
3
1+0
lim
n→∞
2"
3"-4
0
=
lim
n→∞
1-0
1-4⋅(-
n
(3) 分母分子を3” で割ると
→8
lim
4"-1
n→∞
・3" +5
→0
n
n
lim
n→∞
1+5.(-
n
→0

ページ6:

(4) 分母分子を (-3)" で割ると
(-3)"
lim
3)7+1
-2"
(-3)-(-
=
lim
3
-3-0
=
笑
n→∞
-3)"+2"
(5)5"でくくり出すと
n→8
1+
3
lim(5"-4") = lim5" 1-
{
n→∞
(6)-22"でくくり出すと
n→8
lim{(-2)"-22"}= lim(-2
n→∞
n→∞
4
=
n
20{}
1+0
=
・2
22
n
笑