【未来へひろがる数学3】1章式の展開と因数分解

Textbook: 未来へひろがる数学3 啓林館

式の展開と因数分解

ブルーベリリウム

Junior High3

教科書に対応させていますが、授業でやった発展的な内容も含まれています。ご了承ください。

2026.06.13 公開

式の展開因数分解数学中学生文字式公式 math

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ノートテキスト

ページ1:

No.
Date.
1章式の展開と因数分解 P.12
9節式の展開と因数分解 P.13~
●多項式と単項式の乗法→多項式×数と同じ
(2a+b)×5a_分配法則で考える
5ax(2a+b)
5ux(2a+b)=5ax2a+5axb
・面積図で考える
=100+5al
①+②
50
①
= 10a²+5ale
2a
多項式と単項式の除法 多項式数と同じ
乗法と同じ考え方!
●多項式どうしの乗法
(a+b)(c+d)
同士の分配法則
でも考えられる
(+) (+)
一面積図で考える
●の合計
a
×多でも変わらない
= ac + ad + b c + lid
[= ac + ad + b c + be d
単項式×単項式の分配法則
一分配法則で考える
(a+b)(c+d) c+d=Mとして考える
(a+b) (c+d)=(a+b) M
=aM+M
2分配法則
2c+dMに代入
= a(c+d)+bic+d)
=ac+ad+ucthd
分配法則
●もとの式を展開する
単項式や多項式の積の形で表された式を計算して、
単項式の和の形で表すこと

ページ2:

「乗法の公式面積図で説明
(x+a)(x+b)の展開
P.18
十は合わせるから分けられる
(x+a)(x+bx+bx+ax+ab.
x2
tex
=x+(a+b)x+ab
(x+a)(x+b)
a
ax
ale
(x+a)(x+b)
(x-a)(x+b)の場合...
=x2+(a+b)x+ab
(x-α)x-6)
oc-a
x-a
The
(
a
ax
ab
x Tex
octhx-axc-ab
=x+(a+b)x-ab
ax
x²-ax+ab-lex <
= x²+(-a-b)x+ale
十一があっても乗法公式は使える!
> ca+b)^(a-b)の展開 P.19
・分配分則で...
●面積だけの
No.
Date
一はとるから加えられる
考え方。
(a-h)=Miとおく
2分配法則
(a-6)²= (a - b) xM².
2分配法則
2atMに代入
2分配法則
=aM²hM²
=ala-l-bco-h
Ja-bEMI-A
2分配法則
Lathe = Mixtis
(a+b)2=(a+b)×M
= aM +bM
=a (a+h) + h (a+h
= a² + ab + ab + h²
=a²+2ab+b²
・面積図で
a
az
ale
(a+b)²
= (ath) (ath)
ale =σ'zali+alth'
a²+al+al+h²
a
ak
a-h
a-b
=a-ak-ad+h
=a² Jali+h
b
ale
(a-b)2
=(ab)(abi)
= a'-ab-ab+b²
= a²-2ab+42

ページ3:

No.
Date
●平方の公式
(ab)=a2ab+μ (和の平方の公式)
(al)²=a²=zak+ぴ (差の平方の公式)
> ca+bxcale)の展開 P.20
a
同類項展開の公式
まとまっている!
(x+a)(x+b)=x+cath)x+ab
(a+b)²=a2+2alth (他の平方の公式)
(a-b)²=a2-2ak+h2 (差の平方の公式)
(a+b) (a-b)=a- (和と差の根)
◆(a+b)(c+d)=ac+ad+bc+bd
>
(ath)(a-b)=a-aktab-k
=α²-4²
和と差の積
(ath) ca-b)
| = a² = l²
展開で考えるなら・・・
(a+b) (a-b)
=α²+2ah-Zah-li²
=a-b
項が増えた計算考え方は同じ
・(a+b+3) (a+b-3)
面積図・
a
a
lik
[a]
・公式+a+b=Mとする
= (M+3) (M-3)
=M-9
=(a+h)²-9
3
ab 30
-
EVEN MEWAS
al
4² 34
a+2ak+12-9
24
単項式×多項式にする(時間がかかる)
(a+b+3)=Mとする
=M(a+b-3)
=Ma+Mb-3M以下省略
多項式が増えた計算考え方は同じ
・(X+4)=(x+4)×(x+4)
=(x^2+8x+16)(x+4)
この後面積図で考えても良い
=x+4x2+8x+32x+16x+64
=X3+12x2+48x+64

ページ4:

No.
Date
□因数分解 P.23
●因数…1つの式が、いくつかの数や式の積の形に表されるとき、
積の形に表したそれぞれの数や式
●因数分解する……多項式をいくつかの因数の根の形に表すこと
>共通因数でくくる
(3x+6)÷(x+2)
=3(x+2)÷(x+2)
共通因数
展開
(a+3)(a-3) a2-9
●共通因数・Mでくくり出す
Ma+Mb=M(a+b)
a
因数分解
>多項式の因数分解の考え方
M
Ma Mb
●x+8x+16=x2+2xxx4+42)乗法公式の活用
=(x+4)^
x2+5x+6=(x+2)(x+3)
(x+a)=2+2ax+a²
・和=5積=6となる数を探す
P.27
因数分解の解き方
①共通因数でくくる MatMl=Mcath)
② 乗法公式の活用 x+(a+b)x+ab=(x+a)(x+/l)
③面積図
x+2ax+a=(x+a
X-2ax+a=(x-a) 2
x-a=(x+a)(x-a)
いろいろな因数分解
・(x+222-36c+2)-4=M2-3M+4
Mとおく
= (M+1)(M-4)
={(x+2)+1}{(x+2)-4}
=(x+3)(x-2)

ページ5:

☐ No.
Date
2節式の計算の利用 8.30
●カレンダー
3 4 5 6
2
789
性質を証明する」
5証明しやすい文字の置き方がある
文字で表している
が大事!
10 11 12 13 14 15 16
(②の積)(①の積)=7
17 18 19 20 21 22 23
24 25 26 27 28 29 30
左上の数=とすると、右上の数=ntl
31
左下の数=n+7,右下の数されな
L(n + 1)(n+7) - n ( n + 8)
= (n² + 8n+7)= (n²+8n)
4
= 7
12(左右の積)=(真ん中の2乗)-1
真ん中の数=れならば、左の数=n-1、右の数=n+1
- (n+1) (n-1) = n²-1
このパートと真ん中の2秒から1を引いた数は等しい
③3つの積は6の倍数
現時点で証明は難しい
考えるなら場合に分ける必要がある
(中下の積)-(上中の積)=16×(中の数)
中の数これならば、上の数=1-8、下の数=+8
n(n+8)-nin-8)= n²+8n-n²+8n
16n
16hは中の数の16枚かけた数と等しい

ページ6:

●数の計算を求めやすくする P.32
172-13 = (17-13) (17-13) x-a²=(x+a)(x-a)
=30×4
=120
=(20-3)2-(10+3)
展開の公式を利用する
きりの良い教(10の倍数)
No.
Date
=(400-120+9)-(100+60+9)などを利用してもよし
=400-120+9-100-60-9
120
図形の性質を証明
-l
8m
96m=r
a
道の面積は、
(道幅)×(道の中心を通る円周の長さ)=(道の面積)
a
⇒S=al を証明
・するには……
S=[
al
l
S
今回はコレ
同じになる
al
S == al
S
S = TL (a+r)²-Thr²
= TL (a²+2artr²)-Thr²
=Taz+2πar.
・①
道の中心を通る同間の長さ人は、
その円の半径が+rだから、
2
a
L = 2π (1+r)
=Ta+2
よって、ad=alTra+2πr)
=Ta2+2Tar…②
①、②から、S=al