【未来へひろがる数学3】2章平方根

Textbook: 未来へひろがる数学3 啓林館

平方根

ブルーベリリウム

Junior High3

教科書に対応させていますが、授業でやった発展的な内容も含まれています。ご了承ください。(3節平方根の利用は完全に授業内容です。問題演習には良いでしょう)

2026.06.19 公開

数学中学生平方根ルート有理数無理数有理化 math

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ノートテキスト

ページ1:

No.
Dafo
2章平方根
M₁
節平方根 P.41
・
ci
A₁
B₁
ルール点から短い線
ができる順
=アルファベット順で表す
⑩ OBの長さは?
K
M3
A2
B2
B₁
正方形OBiCiB2
ひし形
・OBXA1A2=2×2÷2=2
LoBeAi A
OB=2変すると2になる数
O..
A C₁
B2
D3
負の数は考えない
●aの平方根…2乗するとaになる数
正の数の平方根=正の数・負の数の2つ
(絶対値は等しい)
(2来して負数になるのはない)
<表し方>
2の平方根-
a
va
無理数つまり、
二 有理数とする。
√2
le
a
←これ以上約分不可
2 = π²
Di
✓a 2乗
▼平方根
OB=分数?(P244,245)
←負の方-12
● √=根号という。
読み方はルート。
ODの長さは?
正方形ODiGzD3の面積
E
H2
正の方√2(ルート2と読む)
今回はこっち
C₁
中を切りわけて考える
1×2×/×4+1×1
a
2a² = b² ①
偶数↑↑も偶数
C=自然数として、b-20②
②①に代入
2a²(2c)²
a² = 2 c²
偶数↑ ↑偶数
Al
B₁
G2
=5
1F2
0
A2
外を囲んで考える
3×3-1×2×122×4
G3
A3
Bコ
D3
=5
-OD=DiG2
OD×D,G2=5
2乗すると5になる正の数
=OD=√5
Labともに偶数→がこれ以上約分できないことに矛盾する!
L2=無理数

ページ2:

⑩OM OM2OM3は同じ長さ?
OMi=5
・OM2=2乗したら25になる数=OM3も
Mz
(※図は左と角度が違うもの)
面積=25
25:5
-OM2, OM3 OM1=OM2=OM3=5
●√aの大小
Lachならば Jac
le
Na
a
va
√te
ルートだからa,bに負の数は入らない
No.
Date
☐
●平方根の値
√ばおよそどれくらい?
L1.412=1,98111,422,0164.
この計算計果から、V11.42
したがって12=約1,41
●平方根の詳しい値
√2=1.4142135623730950488...
(一夜一夜に人見頃)
√3=1.7320508075688772935.
(人並みにおごれや
√5 = 2.2360679774997896964...
(富士山麓オウム鳴く>
√6=2,4494897427831780981
(煮よよく弱く)
1√7=2,64575
((丼)に虫いない)。
111

ページ3:

No.
Date
有理数と無理数
P.48 計算する中で範囲が広かった
・有理数、整数と、0でない整数を使って、
分数の形に表される数
n
=
分数で表せる数
・有理数
・無理数……有理数でない数
⇒分数で表すことができない数
無理数-
この計算
小数
整数の計算
-2,-1,0···
自然数
十人の
1.2.3.
√2,√5
-√3, IL
など
12
2号など
8, 7, 2
⑩有限小数…途中で割り切れる
無限小数…途中で割り切れず、永遠に数字が続く
「循環小数……↑の内、ある位よりさきは、決まった数が繰り返される
(144) 0.3333 = 0,3
48
=1,297297297=1,297
37
↑くり返される小数部分の
(有限小数
両端の数字の上に点をつけて表す
・有理数・・・
【循環小数
無限小数
・無理数・・・・・循環しない無限小数

ページ4:

No.
Date
⑩ 循環小数を分数で表すには?
99
0.01=19 と言うには?
0.01=xとおく。
100x = 1.0101....
x=0.0101.
=)
99x=1
→応用:0.9と1は同じが
-0.9=xとおく。
10x=9.999...
-) x=0.999.
9x=9
2-1
よって
よって、0.01
よって、0.9=1
99
x=99 1.7.0.01 =
●真の値と近似値 P.50
L測定して得られた値などのように真の値に近い値
●誤差=近似値-真の値
有効数字…近似値や測定値を表す数字のうちで、
意味のある(信頼できる)数字
▲この個数=有効数字のけた数
例木星の直径
有効数字4けたで表した近似値……... 143000km
●有効数字…1、4、3.0
Lはっきりさせる形だしー
1,430×105(km)
1 整数部分がしたの人数と、
10の何かの積の形に表す
●真の値の範囲
142950km 真の値143050km

ページ5:

No
Date
2倍
●節根号をふくむ式の計算
四則演算
東法、除法 P.53
●√axy=axb成り立つ?
Na
vax√を2乗すると、
=
Jaxとしても考えられる
a
N長は成り立つ?
(vax)
=√ax)×(vax)
Na
√を2乗すると、
= √ax √tex √ a x √te
J
×
= (√ā)² × (va)²
The
=axb
この式から
(a)2
(√)2
vax
は、axleの平方根のうちの正の方、
つまり√axhに等しい。
a
b
よって、Jax=axh
na
この式から、
は、
の平方根のうちの
The le
●√のついた数の積と商
正の数ackについて、
・√ax√h=√axha
✓a
=
The N
a
a√をCにして考える!
√aの形に変形 P.54
(例)5~3=√25×√3
正の方、つまり
@a
等しい。
va
よって、
a
=
'sti v te
ash = √a²xh
= √25×3
=75
●av瓜の形に変形も可能
=√の中を簡単にする
(例)√18=√9×2
Nazxh=ava
=√9x√2
= 3√2
・素因数分解を利用した例
N252=122×32×7
=√22×√3+√7
=2×3×7
=6√√7

ページ6:

P.56
「必ずすること!
◎分母を有理化する……分母に√をふくまない形にすること
例)
8
22
1 x
XV2
No.
Date
=
2√√2x√2
√
4
●√を含む式の値
√2=1,414 とするとき
√50=√2×52
=5V2
=5x1.414
=7,070 有効数字が消さない場合も
4
5 5 x √√2
=
√2x√2
5√25×1.414
2
=3.535
加法、減法 P.58
・・・√内の数を簡単にする
文字式と同じ考え方をする
注意>内の数が違うときは
そのまま
※内の数をそろえようとしても項の数は
減らないからダメ!
2
(例) 4√2+3~2=(4+3) 2=72
4 a + 3 a = (4+3) a =
7a
●816-2-16=18-2)6=616
1-2人=(82)=6
8h-2h=(8-2) b=6b
10
10x5
√45 =
-3√√5
√5
√5x√5
1055-35
5
=2√√5-3√5
-V5

ページ7:

No
Date
●多頃式の計算
・文字式と同じように考えられる!
(例)(2√3+5)(√3-1)
=6-2~3+5~3-5
= 1+3√3
○
• (√2 + 1) (√2-7)
=2-6√2-7
3節 平方根の利用
a(a+3)
√2 (√2+3)
• ( a + b) ²² = a² ² + 2ab+b²
+2
Wa+NW)²= a + 2x√ the
大量生産しやすい大きさ・長さの比率は同じ
紙の大きさを考える
↑
AAAAAAA
1A?
B?
A5
32-
BBB m
543210
B5
小 A4
A 3
A2
Al
AO
B4
1B3
B2
B1
1BO
a
長さは何対何?
b
B5
24
B5
B5
B4
a,b = 正の数とする。
図より、
aid=2h:a
この式から
a² = 2h²
a = √√24²
= 4√2
0:0=0:
La: h=de√√2: h
21:1
L-辺の正方形の
対角線の長さ
(例)
5cm
作図
②