ページ3:

4 2次関数 f(x) = x2-4x + α²-a がある。ただし, aは正の
定数とする。
自学 (9)
(1) y=f(x)のグラフの頂点の座標をαを用いて表せ。
(2)0≦x≦3におけるf (x) の最小値が8であるとき, αの値を
求めよ。 また,このとき,0≦x≦3におけるf (x)の最大値を
求めよ。
(3) αを(2)で求めた値とし, tは t> -を満たす定数とする。
2
t≦x≦t+3における f(x) の最大値をM,最小値をmとす
る。このとき,M を tを用いて表せ。 また, M-m=3となるよ
(配点25)
うなtの値を求めよ。

ページ4:

令和7年度 総合学力記述模試 ・7月
~ 2次関数〜
高1@自学
f(x) = x2 -4x + α²-a, a>0
(1) f(x) ={(x²-4x+4)-4}+a²-a
=(x²-4x+4)-4+α²-a
=(x-2)2 + +α²-a-4
(2) 図より,最小値は頂点のy座標だから
平方完成
頂点(2, a²-a-4)
8
a>0より
a=4のとき
a²-a-4-8
a²-a-12=0
(a-4)(a +3) = 0
a = 4
お絵かきすると,x=0のときf(x)は最大となるので
最大値は f(0)
=
02-4.0 +42-4
=
12
Max
軸
0 23
Min

ページ5:

(3)前半
(2)より f(x) = x2 -4x +12 = (x-2)2 + 8
→ 軸: x = 2 頂点(2,8)
下に凸の放物線の最大値を考えるときは次の三通りに場合
分け。
ア
軸<定義域の中央
軸>定義域の中央
軸=定義域の中央
ここで,軸が定義域t ≦ x ≦ t+3のど真ん中にあるとき
t+(t+3)
++3)=2=1232
2
定義域の中央
※ だから, 今回はアだけを考えればよさげ。
ア
2<
<21+3.
1
すなわちー <t のとき
2
x=t+3のとき最大となり,最大値は
M = f(t + 3) = (t + 3-2)2 + 8 = 12 +2t+9
イ
今回これらはない
(ラッキー)

ページ6:

(3)後半
(i)
2<t(軸が定義域より左)のとき
| M = f(t + 3) = t² + 2t+9
| m = f (t) = t² − 4t +12
M-m=3より
(t2 + 2t + 9)-(t2 - 4t + 12) = 3
∴.t=2
これは条件を満たさないから不適。
2t+3
(ii) t≦2<
(軸が定義域の中央より左)
2
1
考えなくてもおk
すなわちー <t≦2のとき
2
JM=f(t+3)=t2+2t + 9
m=f(2)=8
M-m=3より
(t2 + 2t + 9) - 8 = 3 ∴t2 + 2t-2=0
∴.t=-1±√3
条件よりt = -1 + V3
2t+3
(iii)
2
(軸が定義域の中央と一致)
2
12のとき
すなわちt=-のとき,t>-を満たさないから不適
2
2
<2≦t+3(軸が定義域の中央より右)
2t+3
(iv)
2
すなわち-1≦t<一のとき,t>
<1のとき、11/2
-を満たさないから不適
(v)
t+3<2(軸が定義域より右)
すなわちt <-1のとき,t> を満たさないから不適
(i)~ (v)より t=1+√3

ページ7:

4 2次関数 f(x) = x2-4x+7があり, y = f(x)のグラフをx
軸方向にa-2,y軸方向に-5だけ平行移動したグラフを表す
2次関数を g(x) とする。 ただし, αは正の定数とする。
(1) y=f(x)のグラフの頂点の座標を求めよ。
(2) y=g(x) のグラフの頂点の座標をαを用いて表せ。 また,
a=3のとき,0≦x≦4におけるg(x) の最大値と最小値を
求めよ。
(3)0≦x≦4におけるg(x) の最大値をM,最小値をmとする。
M-2m = 9 となるようなαの値を求めよ。
(配点 25 )

ページ8:

令和6年度 総合学力記述模試 ・7月
高1@自学
(1) f(x)
= x2 -4x +7
~2次関数〜
= (x²-4x +4)-4+7
= (x-2)2 +3
(2)(x,y)={2+(a+2), 3+ (-5)}
=(a, -2)
> a=3のとき y=g(x)=(x-3)^ -2
頂点(2,3)
軸: x = 3
0≦x≦4において, g(x)は
x=0で最大となり, 最大値はg (0) = 7
x=3で最小となり, 最小値はg (3)=-2
79
Max
3
4
O
-2
Min

ページ9:

(3) y=g(x)=(x-α)2-2
0≦x≦4
x=α 頂点(a,-2)
定義域の中央はx=2
ア
ア 0<軸≦2 イ 2 <軸≦4 ウ 4 <軸
0<a ≦ 2 のとき
M = g(4) = a² −8a+14
|m=g(a) = -2
M-2m=9より
a2-8a +9=0
条件より
a=4-√7
イ 2 <a≦4のとき
JM=g(0) = α²-2
|m = g(a) = -2
M-2m = 9より
a² = 7
条件より
a=√√
4<αのとき
|M=g(0)=a²-2
m = g(4) = a² - 8a+14
M-2m=9より
a²-16a+39 = 0
∴ (a-3)(a-13) = 0
条件より
a=13
0 2 4
ア イ ウより
a=4-√√7, √√7, 13

ページ10:

4 2次関数 f(x) = x²-2x-a-a +11がある。 ただし,aは
正の定数とする。
(1) y=f(x)のグラフの頂点の座標をαを用いて表せ。
(2) y=f(x)のグラフをx軸方向に3,y軸方向に-4だけ平行
移動したグラフを表す関数を y=g(x)とする。 y = g(x) のグ
ラフの頂点の座標をαを用いて表せ。 また, g(x) の最小値が
4であるとき, a の値を求めよ。
(3) α (2)で求めた値とし, tを正の定数とする。0≦x≦tに
おける f(x) の最大値をMとする。 M を求めよ。 また,(2)の
g(x)について, 0≦x≦tにおけるg(x) の最小値をmとする。
M + m = 25 となるようなtの値を求めよ。
(配点 25 )

ページ11:

令和5年度 総合学力記述模試 ・7月
~2次関数〜
高1@自学
(1) f(x) =(x-1)^-α² -a +10 頂点(1, -α^-α +10 )
(2)、(x, y) =(1+3, -a^-a+ 10 - 4)
=
=(4,-a-a+6)
-a
‣ - a²-a+6=4
∴ (a + 2)(a-1) = 0
∴a=1 (a>0 )
(3)a=1
f(x)=(x-1)^+8 軸: x =
頂点(1,8)
t
Mを求める。 区間中央はx=
最大値だから
ア 0<軸<
ア
0<1</ すなわち2 <t のとき
M = f(t) = t2 - 2t + 9
tは正の定数
≦1,すなわち0<t≦2のとき
M=f(0) = 9
≦軸で場合分け
1-2
t
t
①
アイより
M = t2-2t+9 (2<t)
M = 9 (0 < t ≦2)

ページ12:

(3) つづき
M+m = 25となる tの値を求める。
g(x)=(x-4)2 +4 軸: x = 4 頂点 (4,4)
|最小値
ウ 軸が定義域より右 (0 <t < 4)
だから
m= =g(t) = t2 - 8t + 20
軸が区間内
(4≦t)
最大値と最小値
m=f(4)=4
を同時に考える
から
~エより, 0 <t≦2,2<t<4,4≦tの三通りに場合分け。
(i) 0 <t≦2のとき
M = 9
|m = t2-8t + 20
M+m = 25 より
9 + (t2 - 8t + 20) = 25
∴t2 - 8t + 4 = 0
0<t≦2
=2√3 (∵条件)
M=12-2t+9
(ii) 2 <t < 4のとき
[m=t2-8t+20
M+m = 25より
(t2 - 2t + 9) + (t2 - 8t + 20) = 25
5±√ √17
2<t<4
..t=
2
これらは条件を満たさないから不適。
|M=12-2t+9
m=4
(i) 4≦t のとき
M+m = 25 より
(t2 - 2t + 9) + 4 = 25
∴.t=1+√13 (∵条件)
4≦t
(i)~(iii))
t = 4-2√3, 1 + V13