Question

ソル（長文になっておりますが、自己紹介を見てもらって、それでもいいよと思っていただける方に回答してもらいたいです🙇‍♀️💦）

ベクトルです。（3）の問題は解き方を覚えておかないと解けない問題ですか？

a =(3, 4) について,次の問いに答えよ.
(1) || を求めよ.
a
(2)と同じ向きの単位ベクトルを求めよ.
a
(3) と平行な単位ベクトルを求めよ.
a
(4) と同じ向きで大きさ2のベクトルを求めよ。

2
(1) |a|=√3²+4²=5
(2) e=
a
1/3 (3,
(3, 4)=(3, 4)
==
a 5
3 4
(+)-2-2
(3) e=±e=±
5' 5
5 5

Answer 1

🍇こつぶ🐡

（3）の問題は解き方を覚えておかないと解けない問題ですか？
＞yes
単位ベクトルが分からないと解けない。

a↑＝(3,4)に平行なベクトルe↑＝(3n,4n)とし、単位ベクトルだから、成分の2乗の和が1より、(3n)^2+(4n)^2＝1
25n^2＝1➡️n＝±1/5となるから、

e↑＝(3n,4n)＝±(3/5,4/5)🙇

Answer 2

Yoshimarukun

数学全般に言えますが、理想的には
①「理屈がわかるから解き方は毎回その場で考えたら思い出せる」
という問題をたくさんストックすること。
そして、その問題を繰り返すことで脳内で思考の圧縮が起き
②「考えるのと同時に手が動く」という問題に知識の次元を高めることです。
ただ、①「理解できるから解けるようになる」ことの方が少ない数学において、③「とりあえず覚えてなんとなく解ける」という形から入ってしまう体力の消耗の激しいアプローチを取らないと、なかなか理解が追いついてこないのが現実です。

大事なのは、②≠③であることをちゃんと肝に銘じることです。
③だって極めればそれなりの速度である程度戦えるようになるかもしれませんが、②に比べその中身はスカスカで問われ方が変わった途端に何もできなくなることがあります。
分かろうと格闘しなければ③から②に成長することはあまりない、またはかなりの時間がかかります。

特にベクトルは図形的な解釈が伴わなければ何をやっているのか全くわからない単元です。
平行とは?→ベクトルで平行とはどう表現する？
単位ベクトルとは？→
この二つだけでなく、ベクトルのがそもそも「向きと大きさをもつ量」であることを理解していること、ベクトルの絶対値とは何かを理解していることなどもわかっていなければなりません。

例えば2x+3x=5x
ができるようになっても、
1/2x+1/3x=5/6xができない子はたくさんいます。
それは、『これらの計算は係数の和をとっているのだ、という抽象化(一体何をしているのかの理解)ができていないこと、さらに、分数は実際に存在する1つの数にすぎないという数的感覚の不足(整数のときとやることは同じだと思えるための認識不足)によるものです。』
どんな係数が来ても同じように処理ができるようにするには『』の中身がそのまま理解できている必要があります。

今回の問題で言えば、覚えてしまえば初めはなんとかなるでしょう。
ただ、それだとやはり、係数が複雑化したり「単位ベクトルの"一つ"を求めよ」という問題があったときなどの"1つ"に引っかかったりします。
(3,4)というベクトルは大きさが√(3^2+4^2)=5です。
単位ベクトルとは大きさが1のベクトルです。

(3,4)と同じ向きで大きさが1であるベクトル
そして、その向きとは原点を基準として重なっている向きと、180°反対向きに二つあるという認識(平行の理解)
を必ず抑えようと努力してください。
そうしないと、その回答の式に血が通いません。

向きが同じか反対→±がつく理由
5の大きさを1にする→(2)のaベクトルをその大きさで割る理由(向きも同じなので＋だけ)

どうせ覚えるならばこれらを頑張って覚えてください。
初めのうちはまだいいですが、その式を無意味に書き殴ることで受験日を迎えることはお勧めしません。

ソル（長文になっておりますが、自己紹介を見てもらって、それでもいいよと思っていただける方に回答してもらいたいです🙇‍♀️💦）

ごめんなさい。理解力がなくて、結局±がなんなのか理解することができませんでした…

Yoshimarukun

能力のせいというよりは、この文字だらけの場で理解しようとしても難しいと思います。
まず、字が細かくて見辛いので視認性はよろしくありませんからね。
一応、解説を試みてみます。
ベクトルのような新しい単元に入るとほとんど必要に応じて、四則演算がどうなっているのかの確認があると思います。
ベクトルの足し算、引き算、掛け算、割り算はどうなっているの？ということです。
割り算はないのが気持ち悪いところですが、ありがたいことに
足し算や引き算はほとんど今までと同じです。
成分を足し引きすればいいだけですからね。
(正しく引き算の部分で-1倍すると180°回転するという概念はスルッと導入されています。)

掛け算に関しては新しく内積というものを定義しているのでそれはそれとして受け入れるので頑張ってください。
もちろん図形的な意味とともに覚えるといいです。

さて、±がつくとはつまりベクトルを±1倍したらどうなるのか？というところです。
実際に座標平面上にベクトル(1,1),(3,4)など適当なものを描いてみてください。
これらのベクトルに-をつけるとはつまり、-1倍するということです。+1倍は割愛します。

[a]=(p,q)をaベクトルとした場合、実数k倍すると以下が成り立つのでした。
k[a]=(kp,kq)
k=-1のとき、さっきの(1,1)や(3,4)はどうなるかみてみます。
-1･(1,1)=(-1,-1)
-1･(3,4)=(-3,-4)
これらも描いてみてください。
元のベクトルと大きさが同じで180℃反転したベクトルになると思います。

これと先に話していた「平行」の概念を結びつけてください。
つまり、あるベクトルの単位ベクトルは「あるベクトルに平行で大きさが1であるベクトルのことで、平行とは同じ向き(符号+)と180°反対向き(符号-)の二つがある」
といった具合に、新しい内容は手前で習った内容の上に積み上げるほかありません。
これが理解です。
その際に、わからないことは図に落とし込む、具体的な数のときで試してみる、小さい値や極端に大きい値のときどうなるかを考えてみる、と言った「試す力」が必要不可欠と言ってもいいくらいに大切です。
これは東大や京大の問題だろうが変わりません。
まずは実験してみる。
上手く絵が描けるように毎度書いてみる。

さまざまなアプローチで頑張ってください。
そしてもう一つ、ひたすら限界まで頑張ってもどうしてもわからないことは「一旦ほっとく」
復習はしないで見なかったことにする、ということではありません。
これは今より難しくなった問題を扱うようになったら特に意識してみてください。