Question

かい

168かっこいち
ノートみたいにカイの公式つかったらあかんのですか
かっこ2はかいてます

2 大阪市大〕
8)
必勝
a0 のとき,放物線 C:y=x2 上の点P(a, α2) におけるCの接線を l とし,Pを通
りと垂直な直線を l とする。
(1)直線 l と放物線 Cとの交点のうち,点P と異なる方をQとする。点 Q の座標を a
の式で表せ。
(2) 放物線 Cと直線lとで囲まれた部分の面積をSとする。Sをaの式で表せ。
(3)(2)のSの最小値を求めよ。 またそのときのαの値を求めよ。 〔12 佐賀大・文化教育]
168. <3次関数のグラフと放物線が囲む2つの部分の面積が等しくなる条件〉
8/16x
αを実数とし, f(x)=x-x, g(x)=a(x-x2) とする。 2つの曲線 y=f(x),
y=g(x) は 0<x<1の範囲に共有点をもつ。
(1) αのとりうる値の範囲を求めよ。
(2) y=f(x) と y=g(x) で囲まれた2つの部分の面積が等しくなるようなαの値を
求めよ。
[18 一橋大 〕
解 169.〈放物線と直線で囲まれた2つの図形の面積比>
放物線 C:y=kx2 (k>0) 上に異なる2点P(a, ka²), Q(b,kb2) (α>b) をとる。 点
PにおけるCの接線と点 QにおけるCの接線の交点をRとし 2点P, Qを通る直線と
Cとで囲まれた図形の面積をS, Cと2つの接線とで囲まれた図形の面積をS2 とする。
(1) 点R の座標を求めよ。
(2) S=1/23k となるように2点P,QがC上を動くとき,点Rの軌跡を求めよ。
を動くとき,面積比 S1 S2 を求めよ。

1168107まで
(1
9(x)² -ax² tax
--a (x²-x)
2
Tex) = ->3
= a{lx-$8-$} = -a (x² = 3² + & a
1-x3 + x +ax²-ax=0
-x(x²-1-ax+a)
2
XOX²-(a+1)x+9)=0
la
x(x-axx-D=0
1.0、20-2
0 <2 (a-1)</
0 <ca = 1 ) < ±
-
2
f(x)-9(x)
x²-axta-1=0
a±√ a²=-4a+4 +1-21
X=
2
2
ata-2 a 12-a
L20-2

(
CE
計 168 〈3次関数のグラフと放物線が囲む2つの部分の面積が等しくなる条件>
(2) 面積が等しいという条件を1つの定積分にまとめて表す。
(1) f(x)-g(x)=(x-x-a(x-2)
(10)=9(x)
=x(1+x)(1-x)-ax(1-x)で共有点
=x(1-x)(x-a+1)
よって、2つの曲線 y=f(x) y=g(x) の共有点のx座標は
x(1-x)(x-a+1)=0
St 169
(3)
糸
(1)
よ
す
の実数解である。
ゆえに x=0, 1, α-1
2つの曲線 y=f(x), y=g(x) が 0<x<1の範囲に共有点をも
つから
0<a-1<1
どうやって
したがって 1 <a< 2
正わかる?
(2) 0≦x≦a-1 で (f(x)-g(x)=① すなわち f(x) ≦g(x)
a-1≦x≦1で ((x)-g(x)≧0 すなわち f(x) ≧g(x)
よって、題意を満たすための条件は,右
y
の図から
y=g(x)
y=f(x)
S'{g(x)-f(x)}dx
=Sa_{f(x)-g(x)}dx
1
a-1
意。
ゆえに
S'(g(x)-f(x)}dx
+f_{g(x)-f(x)}dx=0
したがって Solg(x)-f(x)}dx=0 ...... ①
ここで
Solg(x)-f(x)}dx=Sola(x-x)(x-x)}dx
=S{x-ax²+(a-1)x}dx
a
-x-3x²+1
a
- 100+ 9-1
=
4 3
2a-3
2
2
12
2a-3
①から
=0
12
すなわち a=2
これは 1 <a<2を満たす。
136
数学重要問題集(文系)
曲線 y=f(x)と曲線
y=g(x) の上下関係に注
Sh(x)dx+h(x)dx
=Sh(x)dx
C