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数学Ⅰ 2次方程式の共通解 (S高校1年生より)
問.kを0でない実数とする。
2つのxの2次方程式
x2 -(k +1)x-k2=0
x2-2kx-k=0
がただ1つの共通解をもつとき, kの値を求めよ。 また,
そのときの共通解を求めよ。
【解答例】
実数解をαとおき、 2式の差をとる。
共通解をαとすると
① ② より
2-(k+1)a-k2=0
a2-2ka-k= 0
(k-1)a-k(k-1)=0
(k-1)(a-k)=0
∴.k=1,k=α
①
k=1のとき
それぞれの場合について確認
2つの方程式はともにx²-2x-1=0
判別式は
D=(-2)^-4×1×(-1)=8>
0
よって, ともに異なる2つの実数解をもつので, 共通解は
2つになるから不適。
k=αのとき
①より
k2-(k + 1)k-k2=0
k(k+1)= 0
∴.k= -1
このとき,2つの方程式の解は
k≠0
x2-1=0
∴x=1, x = -1
x 2 + 2x + 1 = 0
∴x=-1
よって,ただ1つの共通解x=-1をもつ。
アイより
k=-1, x = -1 圏