Question

Takumi

この2問の解き方を教えてください
お願いします

【 4 】3 次方程式
2一  ー6=0     NH   内 0

 

  
 

し, は定数である.

Answer 1

LUX SIT

2. どこに注目するかがポイントです.　まずは面倒な方法からやります.
点(3, 0)を通る直線に注目すると, x=3は明らかにy=x^3+5x^2に接しません.
それ以外の直線は実数aを用いてy=a(x-3)と書けます. これとy=x^3+5x^2が接点を持つなら
x^3+5x^2-a(x-3)=(x-α)^2(x-β)と書けます[2乗の項が接点の位置を表します].
整理するとx^3+5x^2-ax+3a=x^3-(2α+β)x^2+(α^2+2αβ)-α^2βで, これがxに関する恒等式なので
β=-2α-5, a=-α(α+2β), 3a=-α^2β⇔β=-2α-5, 3a=3α(3α+10)=α^2(2α+5)
αに関する方程式を解くと, -2α(α+3)(α-5)=0⇔α=-3, 0, 5です.　それぞれに対応するβとaについてまとめると
(α, β, a)=(-3, 1, -3), (0, -5, 0), (5, -15, 125)になります. したがって接線の方程式は
y=-3(x-3), y=0, y=125(x-3)とそれぞれ求まりました.
***
簡単な方法は, 接点を(t, t^3+5t^2)と設定することで, 接線はy=(3t^2+10t)(x-t)+t^3+5t^2と書けます.
これが点(3, 0)を通過するので, 0=(3t^2+10t)(3-t)+t^3+5t^2⇔-2t(t+3)(t-5)=0⇔t=-3, 0, 5と定まります.
それぞれについて接線はy=-3(x-3), y=0, y=125(x-3)です.
***
4. 曲線y=2x^3-6xと直線y=a[定数だけ分離します]の交点の数が3次方程式の解の個数と一致します.
y'=6x^2-6=6(x-1)(x+1)なので, 曲線はx<-1で単調増加, -1<x<1で単調減少, x>1で単調増加することが分かります.
すなわちx=-1で極大値4, x=1で極小値-4をとることが分かります. これでy=2x^3-6xのグラフが書けます[自分でやってみよう].
あとはy=aとの交点をグラフから読み取ればいいです.
a<-1, a>1のとき1個, a=-1, 1のとき2個[接点に注意], -1<a<1のとき3個あることが分かるはずです.

Takumi

ありがとうございます