余りによる解法は 整数問題を解く際の重要な武器ですので
しっかり覚えましょう。
全ての整数は 、3で割切れる、3で割ると1余る、3で割ると2余る
の3通りに分類できます。
これを式化すると、
3で割切れる ⇒ n=3k (k=0,±1,±2,…)
3で割ると1余る ⇒ n=3k+1 (k=0,±1,±2,…)
3で割ると2余る ⇒ n=3k+2 (k=0,±1,±2,…)
それぞれをn²+3nに代入して 3で割った余りを求めます。
(i) n=3kのとき
n²+3n = (3k)²+3(3k) = 9k²+9k = 3(3k²+3k)
よって 整数kがどのような数字でも 3の倍数である。
(ii) n=3k+1のとき
n²+3n = (3k+1)²+3(3k+1) = 9k²+6k+1+9k+3 = 9k²+15k+4
= 3(3k²+5k+1)+1
よって 整数kがどのような数字でも 3で割った余りは1になる。
(iii) n=3k+2のとき
n²+3n = (3k+2)²+3(3k+2) = 9k²+12k+4+9k+6 = 9k²+21k+10
= 3(3k²+7k+3)+1
よって 整数kがどのような数字でも 3で割った余りは1になる。
(i)～(iii) より
nが3の倍数のとき n²+3n を 3 で割った余りは 0
nが3の倍数でないとき n²+3n を 3 で割った余りは 1
となります。
