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補足です、
このモクモクの部分、「循環小数は同じ数字が続く」ことを使っているので省略していますが、
r= 2.205205205•••
1000r=2205.205205205••• です。
これを筆算します。少数以下は205205•••とどちらも同じなので消えます。
(質問文の2003という値は出ず、
2203という数字が出ました。)