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√1+1^2と書かれている理由はわかりませんが、
y=x+kは、x軸となす角度が45°ですよね。なので、画像の赤の三角形より、
切り取られる線分の長さ(三角形の斜辺)は、他の辺の√2倍なので、
√2|β-α|
分からなければ質問してください。

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