Question

ゲ'ス'ト

互いに素の関係にある自然数a,bがあります。
その時
b/(a+b) または　a/(a+b) は、a,bが
どんな値であっても既約分数ですか？

できたら解説もお願いします。

Answer 1

✨ Best Answer ✨

Crystal Clear

そうなりますね

まず、既約分数とは分母と分子が互いに素ということですから、与えられた命題は
a,bが互いに素⇒a,a+bが互いに素
となります.
ここでmとnの最大公約数をgcd(m,n)と表すことにすると
gcd(a,b)=1⇒gcd(a,a+b)=1
と書き直せますが、gcdの有名な性質
gcd(a,b)=gcd(a,a+b)　◎
を思い出せば、与えられた命題は真だとわかります.
◎の証明は練習問題とします.

ちなみに◎はユークリッドの互除法で用いられる性質です.
a>bのとき◎を右辺から左辺への変形を利用して
gcd(a,b)=gcd(a,b-a)=gcd(a,b-2a)=…=gcd(a,r)
rはbをaで割った余りとした.

Crystal Clear

訂正
誤　a>bのとき
正　b>aのとき

ゲ'ス'ト

ありがとうございます！