Question

tofu

解説の(k+1)³を加えるとの部分、n=k+1を考えるではだめなんでしょうか。加えて考えるのではなくnにk+1を代入するような形で証明してもいいでしょうか？教えてください🙇🏻‍♀️

基本問 題■
396
(1) 等式 1°+2°+3°+ +n=
4
を数学的帰納法で証
明せよ。
【類 16 中央大]
1
(2) 等式
1·2
1
1
1
n
を数学的帰納法で
三
2.3
3.4
n+1
証明せよ。
[01 倉敷芸科大)

n{n+1)
4
396(1) 1°+23+ +n=
.① とする。
ニ
[1] n=1 のとき
(左辺)=1°=1,
(右辺)=
=1
4
ゆえに,等式のは成り立つ。
[2] n=kのとき, ①が成り立つと仮定すると
kりん+1)?
+ポ=
4
この両辺に(&+1)を加えると
(左辺)=1° +2° +…
(右辺)=
4
4
(k+1)(k?+4k+4)
4
4
よって 1°+2°+ ++(k+1)°=
4
ゆえに, n=k+1のときも①は成り立つ。
[1], [2] から,①はすべての自然数nについて成り立つ。

Answer 1

✨ Best Answer ✨

零

矛盾や誤りがなく正しければ何でもいいです。
別解・例)
n=k+1のときも①が成り立つことを証明すればいい。つまり、(左辺)=(右辺)となることを示す。
n=k+1のとき、①の左辺および右辺について、
(左辺)=1³+2³+⋯+k³+(k+1)³
↓ここで、1³+2³+⋯+k³=k²(k+1)²/4より
=k²(k+1)²/4+(k+1)³
=(k+1)²{k²+4(k+1)}/4
=(k+1)²(k²+4k+4)/4
=(k+1)²(k+2)²/4
=(k+1)²{(k+1)+1}²/4=(右辺)
ゆえに、n=k+1のときの①についても、(左辺)=(右辺)となり、成り立つ。

tofu

ありがとうございます😊🙏🏻理解出来ました!!!

guest

補足をありがとうございます。
質問者様が代入をこのような意図で言っているのであれば合っていますね。
上手いこと説明できず力不足を感じました。

tofu

ご回答いただきありがとうございます🌈guestさんが仰っていたことも重要ですし、改めてその事を確認できたので大変ありがたいです🙇🏻‍♀️皆さん良かったのですが、拓👓さんに早く回答していただいたのでベスアンにさせていただきました。ベスアンボタンが3つ欲しいくらいでした😓

Answer 2

guest

n=kのときに成り立つものを、変形を加えることでn=k+1の式が成り立ちますよ、ということを使うのがこの証明です。
つまり、n=kの式からn=k+1の式を作れますよ、ということを示すのです。

n=kを代入しても成り立ちます、n=k+1を代入しても成り立ちます、というのはダメです。
なぜなら、そもそも証明すべき式はまだ正しいとは言えません。
n=kの状態を正しいと仮定しているため、そもそもの式が正しいといえない限り、n=k+1の状態を正しいとは言えません。

あなたの回答を見ないと絶対間違っているとは言えませんが、n=k、n=k+1を代入して正しく証明する方法を私は思いつきません。
質問の意図が違っている場合は大変申し訳ありません。

tofu

ありがとうございます😊🙏🏻理解出来ました!!!

Answer 3

やる気スイッチ欲しい

自分はn=k+1のとき、と書いてました。
解説通りじゃなくていいと思います。

tofu

ありがとうございます😊🙏🏻理解出来ました!!!